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    0 0

    Wäre dankbar für jede Hilfe :-)


    Aufgabe:

    Consider an initially symmetric Cournot oligopoly with 3 firms and an inverse demand function of the form p(Q) = 1 - Q. Each firm has constant marginal costs of c E {0, 1/2}. Suppose now that two of the firms merge. This time there is a cost synergy, such that the merged firm's marginal costs reduce to αc, with α E (0, 1).  

    1. Derive the symmetric Cournot equilibrium in which one firm has marginal costs of αc and the other firm has marginal costs of c. Why is this relevant? Moreover, verify that under the given assumptions, both firms will always be active in equilibrium.

    2. Provide the conditions on c and α such that the profits of the outsider (the firm which did not partake in the merger) increase. Hint: You have to distinguish two cases. For a sufficiently small c (which one?), this holds for all α E (0, 1). For a larger c, this will only hold if α is sufficiently large (how large?).

    3. Provide the conditions on c and α such that the joint profits of the insiders (the firms which engaged in the merger) increase. Hint: This can only hold if c is sufficiently large (how large?) and α is sufficiently small (how small?).

    4. Can you find a parameter constellation (c and α) such that both the joint profits of the insiders as well as the profit of the outsiders increase?


    0 0

    Servus,


    kann mir bei der Aufgabe vielleicht jemand weiterhelfen?


    Es sind 2 Mittelwerte gegeben X1=56,1 und X2=57,9

    Zusätzlich die jeweiligen Stichprobenvarianzen V1=21,1 und V2= 18,3.

    Ich soll jetzt schauen, ob die Mittelwerte sich signifikant voneinander unterscheiden.

    Hierzu soll die Nullhypothese aufgestellt, Konfidenzintervall, kritische Prüfgröße Z sowie der p-Wert bestimmt werden. 

    Ich weiß wie man Konfidenzintervalle aufstellt, aber ich hab keine Ahnung wie das mit der kritische Prüfgröße Z und dem p-Wert für 2 Mittelwerte gehen soll.

    Bin für jede Hilfe dankbar Freunde.

    LG


    0 0

    wie kann ich folgende Äquivalenz zeigen. Stehe gerade enorm auf dem Schlauch:

    Sei \(X\) eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion \(F(t) =\mathbb{P}(X≤t)\).

    Zeige:\( F\) ist genau dann streng monoton steigend, wenn \(\mathbb{P}(X \in I)>0\) für jedes offene  Intervall \(I⊆\mathbb{R}\).


    0 0

    bei folgender Aufgaben benötige ich unbedingt Hilfe.

    Sei \(X\) eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion \\F(t) = \mathbb{P}(X≤t)\) und die verallgemeinerte (rechtsstetige) Inverse von \(F\) definiert durch:

    \( F^{-1}:[0,1] \to \bar{\mathbb{R}}\) mit \(u \mapsto \inf\{t \in \mathbb{R}| F(t)>u\}\)

    Zeige (ohne Voraussetzungen an \(F\)) :

    a) \(\{u|u < F(t)\}⊆\{u|F^{−1}(u)≤t\}⊆\{u|u≤F(t)\}\)

    b) sei \(Z\) eine gleichmäßig auf \([0,1]\) verteilte Zufallsvariable. So ist \(X:=F^{−1}(Z)\) auf \(\mathbb{R}\) gemäß \(F\) verteilt.

    Vielen Dank.


    0 0

    Servus!

    Folgende Aufgabe wäre zu lösen:

    Sei \(K\) ein Körper. Zeigen Sie, dass für alle \(a_0, . . . , a_m, x ∈ K\) gilt:

    $$det\begin{pmatrix} x & 0 & \cdots & 0 & a_0\\ -1 & x & \ddots & \vdots & a_1\\ 0 & -1 & \ddots & 0 & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & x & a_{m-1}\\ 0 & \cdots & 0 & -1 & x+a_m \end{pmatrix}$$

    $$=x^{m+1}+a_mx^m+\cdots+a_1x+a_0$$

    Hinweis: Sie können die Aussage per Induktion über \(m\) beweisen.  Verwenden Sie eine
    geeignete elementare Transformation, um die Determinante leichter berechnen zu können.


    Ich habe leider nicht wirklich einen Ansatz :/

    Vielen Dank!


    0 0

    Aufgabe:

    Seien X1, . . . , Xn unabhängige und identisch N(µ, σ2)-verteilte Zufallsvariablen, wobei der Parameter ϑ =(µ, σ2)     ∈ R × (0, ∞) unbekannt sei. Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer ϑ' n =( µ'n, σ2 n) für ϑ =(µ, σ2).

    (Alles mit einem ' markiert, sollte eigentlich ein Dach sein)

    Problem/Ansatz:

    Ich tue mich echt schwer mit der Aufgabe. In der Übung hatten wir das mal kurz besprochen anhand einer Verteilungsfunktion, die wir anschließend in eine Likelihood Funktion umgewandelt haben, die Logarithmus-Schreibweise benutzt haben, anschließend abegleitet und nach einem Extremum gesucht haben.

    Bei der Aufgabe hier scheitert es jedoch schon an dem was gegeben ist. Mein Ansatz war es nun irgendwie mit Hilfe der Verteilung auf eine Summe zu kommen, darüber auf eine Likelihood-Funktion. Bis jetzt hat es net geklappt ..


    0 0

    Aufgabe:

    R ist Hauptidealring

    I ist Ideal von R mit I ≠ Nullideal.

    zz: I Primideal => I maximales Ideal


    Problem/Ansatz:

    I ist Hauptideal => I = (a) mit a ∈ R

    Sei b∈R aber b∉I

    Angenommen I ist kein maximales Ideal, dann ist (a) + (b) ≠ R.

    Sei r∈R bel. => r*a ∈ I

    => r*a + b= s ∈ R

    => ra = s - b = s + (-1) * b

    => s ∈ I und (-1)*b ∈ I

    Da I Primideal ist, folgt (-1) ∈ I oder b ∈ I 

    r = r * 1 = r * (-1) * (-1)  => r ∈ I

    => (a) + (b) = R da r beliebig war.

    => Wiederspruch zur Annahme das (a) + (b) ≠ R

    => I ist maximales Ideal.



    Ist das so richtig oder hab ich da irgendwo einen Fehler gemacht?

    Danke schonmal!


    0 0

    Hallo Freunde!


     Sei \(V\) ein euklidischer Vektorraum der Dimension \( n \) und sei \( f \in \operatorname{End}(V) . \) Zeigen Sie:


    (a) Ist \( f \) schiefadjungiert und \( n \) ungerade, so gilt \( \operatorname{Kern}(f) \neq 0 \).


    (b) Ist \( n=3 \) und \( f \) schiefadjungiert, so existiert eine Orthonormalbasis \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) von \( V \) derart dass gilt
    $$ M_{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)}^{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)}(f)=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {a} & {0} \\ {-a} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right) $$
    für ein geeignetes \( a \in \mathbb{R} \)



    Problem/Ansatz:

    Habe (a) hinbekommen, bei b hakt es. Da ker f =/= 0, gibt es ja auf jeden Fall einen Vektor v ungleich 0 mit f(v)=0. Dieser Vektor gehört auf jeden Fall in die Basis. Wie bestimme ich nun die restlichen zwei Vektoren?

    Könnt ihr mir bitte helfen?


    0 0

    Aufgabe:

    Berechnen Sie die erwartete Fisher Information I(σ), gegeben den Zufallsvariablen X1,..,Xn ~ N(0,σ2)


    Problem/Ansatz:

    Ich habe die Information folgendermaßen berechnet: Ich stelle die Likelihood Funktion auf, dann bilde ich die log Likelihood und leite diese zweimal nach σ ab. Abschließend bilde ich dann noch den Erwartungswert und fertig.


    Ich erhalte dann 2n / σ2.

    Das passt auch soweit mit meiner Lösung. Allerdings lese ich in anderen Quellen, dass die erwartete Fisher Info n/2σ4 sei. Was stimmt denn nun? Ich bin aktuell etwas verwirrt.

    Vielleicht kann jemand mal etwas Licht ins Dunkel bringen - Vielen Dank!


    0 0

    Aufgabe:

    Sei T ein Baum mit gerader Anzahl Knoten. Zeigen Sie mithilfe einer vollständigen Induktion, dass es genau
    einen spannenden Teilgraphen von T gibt, in dem jeder Knoten ungeraden Grad hat.


    Problem/Ansatz:

    wie kann man mit solcher Fragen umgehen ?


    0 0

    Untersuchen Sie die folgenden Funktionen an allen Stellen ihres Definitionsbereichs auf Differenzierbarkeit.

    f1 : (0,∞) → R, f1(x) = x sin(ln(x))
    f2 : (−π/2,π/2) → R, f2(x) = tan(x)

    f3 : R → R, f3(x) = arctan(|x|)


    0 0

    Aufgabe:

    Sei U = [(1, −4, 2, −3),(−3, 8, −4, 6)] , bestimme man einen Teilraum W von ℝ4 , sodass U ⊕W = ℝ4

    Problem/Ansatz:

    Ich verstehe es überhaupt nicht wie ich das beginnen soll. Wie kann ich das lösen?

    bedeutet diese Schreibweise von U mit eckige Klammer dass U eine Teilraum ist? sollte W auch zwei Vektoren haben? Und wie kann ich dann dass machen/wissen dass diese beide Teilräume R^4 ergeben?

    Ich wäre sehr sehr dankbar für irgendwelche Erklärungen/Beispiele/praktische Weg damit ich das wirklich verstehen kann und dann auch später anwenden kann.


    LG


    0 0

    1.PNG

    Text erkannt:

    Aufgabe \( 3 . \) Seien \( f=X^{5}+X^{4}+X^{2}+1 \) und \( g=X^{5}+X^{3}+X^{2}+1 \in \mathbb{F}_{2}[X] \) zwei Polynome und \( I=(f, g) \subseteq \mathbb{F}_{2}[X] \) das davon erzeugte Ideal.
    (a) Berechnen Sie ein Polynom \( d \in \mathbb{F}_{2}[X] \) mit \( I=(d) \)


    0 0

    f ist Element von End(V). Mann soll zeigen, dass aus \( V = im f ⊕ ker f \) folgt, dass rg f = rg f^2 bzw. dim im f = dim im f^2.  Weiß jemand, wie das geht?


    Dies ist die Rückrichtung zu einem Äquivalenzbeweis. Die Hinrichtung habe ich hinbekommen, aber nun brauche ich eure Hilfe


    0 0

    Bestimmen Sie die Dimension und Basis von \( U_1 + U_2 \), wobei \( U_1, U_2  \  \ \ \mathbb{F_5} \)-Unterräume sind

    \( U_1 = ⟨ \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\0\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4\\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1\\-1\\0\\1\\1 \end{pmatrix}  ⟩, U_2 = ⟨ \begin{pmatrix} 4\\1\\0\\3\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 3\\2\\0\\0\\0 \end{pmatrix}  ⟩ \)

    Ich glaube ich übersehe irgendetwas offensichtliches.

    Ich habe das Gleichungssystem

    x + y - z + 4t + v + 3u = 0

    2x + 2y - z + t      + 2u = 0

    x + 3y           + v         = 0

         4y + z + 3t            = 0

    2x       + z                  = 0


    gelöst und bin dann mit den Rechenregel in in Z/5Z auf folgendes gekommen.

    x + y - z + 4t + v + 3u    = 0

        4y + z + 3t                 = 0

              -z + 2t + 2v + 4u = 0

                      4t + 2v + 3u = 0

                             3v + 4u = 0

    Hier kann ich ja theoretisch (wurde in der Vorlesung noch nicht behandelt) ablesen, dass \( dim_{\mathbb{F_5}} (U_1 + U_2)= 5 \)

    Aber wie bestimme ich jetzt eine Basis, ich habe irgendwie keine Linearkombination finden können, um einen der 6 Vektoren mit den anderen darzustellen. Ich habe irgendwie das Gefühl, dass das LGS zu lösen nicht der einzige Weg ist um die Aufgabe zu lösen ...

    In dem LGS oben kann ich ja u = s setzen und komme dann auf

    x = s, y = 3s, z = 2s, t = 2s, v = 2s, u = s

    ich kann die Lösung aber nicht interpretieren.


    0 0

    Hallo, Ich beschäftige mich aktuell mit Analysis 1 und komme zu keiner schönen Idee für die folgenden zwei Aufgaben:

    a) Sei f ∈ C3(ℝ) und f(0) = f '(0) = f(1) = f '(1) = 0.

    Zeigen Sie, dass es ein x ∈ (0,1) gibt mit f '''(x) = 0.


    b) Sei g(x) = (x2−1)n.

    Zeigen Sie mit Induktion, dass für k = 0,1,2,...,n die Funktion g(k) ein Polynom ist, dass mindestens k verschiedene Nullstellen in (−1,1) hat. Beweisen Sie damit, dass g(n) ein Polynom vom Grad n ist, dass alle Nullstellen in (−1,1) hat.


    Vielleicht könnt ihr mir ja helfen!

    Liebe Grüße!


    0 0

    Hallo, Ich beschäftige mich aktuell mit Analysis 1 und komme zu keiner schönen Lösung für die folgende Aufgabe, irgendwie fehlt mir dort der richtige Ansatz:

     Zeigen Sie, dass es eine differenzierbare Funktion g : (−∞,0) → (0,∞) gibt,

     so dass 2g(x)−log(1+2g(x))+x = 0 für alle x ∈ (−∞,0). 

    Vielleicht könnt ihr mir ja helfen!

    Liebe Grüße!


    0 0

    Aufgabe:

    Gegeben ist \( x=\left(\begin{array}{l}{X_{1}} \\ {X_{2}} \\ {X_{3}}\end{array}\right), \operatorname{Var}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{\Sigma}=\left(\begin{array}{ccc}{\sigma_{1}^{2}} & {\sigma_{12}} & {\sigma_{13}} \\ {\sigma_{21}} & {\sigma_{2}^{2}} & {\sigma_{23}} \\ {\sigma_{31}} & {\sigma_{32}} & {\sigma_{3}^{2}}\end{array}\right) \)


    Problem/Ansatz:

    Berechnen Sie die Varianzen von X1+X2.

    Musterlölung:

    \( \operatorname{Var}\left(X_{1} \pm X_{2}\right)=\operatorname{Var}[\left(\begin{array}{ccc}{1} & {\pm 1} & {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{X_{1}} \\ {X_{2}} \\ {X_{3}}\end{array}\right)]=\left(\begin{array}{lll}{1} & {\pm 1} & {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{\sigma_{1}^{2}} & {\sigma_{12}} & {\sigma_{13}} \\ {\sigma_{21}} & {\sigma_{2}^{2}} & {\sigma_{23}} \\ {\sigma_{31}} & {\sigma_{32}} & {\sigma_{3}^{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{1} \\ {\pm 1} \\ {0}\end{array}\right) \)


    Warum (1 1 0)und(1 1 0)-1?


    0 0

    Aufgabe:

    Ich möchte die Goodstein-Elemente für den Startwert 5 berechnen. Leider weiß ich ab dem achten Schritt nicht mehr, wie ich die Subtraktion mit 1 als Potenz darstellen muss, um das korrekte Ergebnis zu erhalten.


    Problem/Ansatz:

    Selection_007.png


    Ich denke, die 23 in g6 muss anders dargestellt werden, nämlich durch eine Potenz, so dass auch in g7 das richtige Ergebnis (2454) herauskommt.

    Hier sind die Ergebniswerte für das Startelement 5:

    \( g_{0}(5)=5 \)
    \( g_{1}(5)=27 \)
    \( g_{2}(5)=255 \)
    \( g_{3}(5)=467 \)
    \( g_{4}(5)=775 \)
    \( g_{5}(5)=1197 \)
    \( g_{6}(5)=1751 \)
    \( g_{7}(5)=2454 \)
    \( g_{8}(5)=3325 \)
    \( \begin{aligned} g_{9}(5) &=4382 \\ g_{10}(5) &=5643 \\ g_{11}(5) &=7126 \end{aligned} \)


    0 0

    Ein Skalarprodukt s auf \( \mathbb R^{3} \) sei gegeben durch die Matrix

    A:=

    121
    263
    132

    Ist s ausgeartet?


    Problem/Ansatz:

    Dafür muss ich doch eigentlich nur den Rang von A bestimmen, oder? Hat A vollen Rang ist s nicht-ausgeartet, hat A nicht vollen Rang ist s ausgeartet.

    Was meint ihr?


    0 0
  • 01/19/20--13:26: Kuhn - Tucker Theorie
  • Aufgabe:

    Gegeben ist folgende Zielfunktion

    f(x1,x2) = 3/2 (5 - x1) ( 10-x1)(5-x2) - (5-x2)3

    unter den Nebenbedingungen

     x₁≥ 0

    x₁ ≤ 15

    x₂ ≥ 0

    x₂ ≤ 12

    Problem/Ansatz:

    Berechnen Sie alle lokalen und globalen Minima und Maxima der Zielfunktion f unter Einhaltung der gegebenen Nebenbedingungen. Wie kann man die Kuhn - Tucker Theorie anwenden? Danke!


    0 0

    Zählen Sie die folgenden Mengen von Bäumen mit Knotenmenge [n] und geben Sie jeweils einen Beweis mit Hilfe des Prüfercodes für die von Ihnen gefundene Anzahl an.

    1)   Bäume mit 2 Blättern

    2)   Bäume mit n − 2 Blättern



    Weiß jemand wie das zu lösen ist? Würde mich über eine Antwort freuen.

    Danke im Voraus (:


    0 0
  • 01/20/20--06:24: Empirische Verteilung
  • Aufgabe:

    Bei einer Klausur, bei der es 50 Punkte zu erringen gab, erzielten die Studentinnen und Studenten folgende Ergebnisse:

    41, 10, 23, 27, 11, 18, 49, 30, 27, 10, 40, 41, 36, 26, 27, 19, 17, 5, 22,
    38, 17, 14, 15, 18, 27, 22, 40, 25, 13, 7, 12, 32, 8, 17

    a) Bestimme zu diesen Daten die empirische Verteilungsfunktion Fn(x).

    b) Berechne Mittelwert, Median und Varianz.


    c) Aus Erfahrung weiß der Korrektor, dass die Punkteverteilung einer Normalverteilung genügt. Als er die ersten 10 Klausuren bewertet hatte,
    schätzte er die Varianz der endgültigen Punkteverteilung mit einem erwartungstreuen Schätzer

    Lösungen:

    erstmal zu a)  Fn(x) = Anzahl der Beobachtungswerte in der Stichprobe ≤ x /n
    Anzahl der Beobachtungswerte in der Stichprobe= 34

    n=?

    was ist hier n=?


    0 0

    Aufgabe:

    $$ f:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb{R^2},(x,y,z)\rightarrow (x+y,y+z) $$

    Problem/Ansatz:

    $$ \text{ Seien (a,b,c)}\in\mathbb{R^3} \text{beliebig.} $$

    $$ \text{Zu zeigen: Für alle (a,b,c)}\in\mathbb{R^3} \text{existiert  (x,y,z)}\in\mathbb{R^2}:f(x,y,z)=(a,b,c) $$


    Wie würde ich denn jetzt zeigen, dass Surjektiv gilt?

    Meine Gedankengang:

    a= x+y -> x=-y+a

    b= y+z -> z=-y+b

    c=(x+y) v (y+z) -> ?

    Damit ich später die form habe:

    a=a , b=b ,c=c  ?

    Oder gibt es eine andere einfachere Möglichkeit es zu beweisen?

    Vielen Dank im Vorraus


    0 0

    Aufgabe:

    Die Metalltechnik GmbH fertig die Produkte I und II. Dabei werden die Maschinen A,B und C durchlaufen. Für die Fertigung einer ME des Produkts I werden 5 Stunden auf Maschine A, 4 Stunden auf Maschine B und 1 Stunde auf Maschine C benötigt. Für die Fertigung einer ME des Produktes II wird Maschine A 3 Stunden und Maschine B 5 Stunden eingesetzt. Maschine A kann maximal 195 Stunden, Maschine B maximal 260 Stunde und Maschine C maximal 24 Stunden belegt werden.


    Für eine abgesetzte ME von Produkt I erzielt die Metalltechnik GmbH ein Gewinn von a Euro, für eine ME von Produkt II einen Gewinn von b Euro.


    - Bestimmen sie die gewinnmaximale Produktionsmenge des Produktes I und des Produktes II, wenn für jede erzeugte und abgesetzte Menge Einheit 1€ Gewinn erzielt wird .
    - Wählen sie a und b so, dass bei einer Produktion von 24 ME von Produkt I und 25 ME von Produkt II der Gewinn maximal ist.
    - Geben sie eine Beziehung zwischen a und b an, sodass für die Produktionspaare (24|25) und (15|40) der Gewinn maximal ist. Bestimmen sie a und b so, dass der maximale Gewinn 390€ beträgt.


    Problem/Ansatz:

    Die erste Aufgabe ist kein Problem, die habe ich (graphisch/durch gleichsetzen der Funktionen) gelöst. Der maximale Gewinn wird bei einer Produktion von 24,6 ME von Produkt I und 24 ME von Produkt II erzielt. Der Gewinn beträgt dann 48,6 €.

    Bei der zweiten und dritten Aufgabe komme ich jedoch nicht weiter/ habe z,.zt. keine Ansatz. Wäre über eure Hilfe sehr dankbar.


    Gruß


    0 0

    Aufgabe:

    Sei K ein Körper. Für \( \sigma \in S_{n} \) sei \( \phi_\sigma: K^{n} \to K^{n}, \begin{pmatrix} x_1\\:\\x_n \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_{\sigma^{-1}(1)}\\:\\x_{\sigma^{-1}(n)} \end{pmatrix}\)

    Bestimmen Sie für beliebiges \( \sigma \in S_{n} \) die Darstellungsmatrix \(D_{BB}(\phi_\sigma) \), wobei B die Standardbasis des \( K^{n} \) ist.

    Ich glaube ich könnte die Aufgabe lösen, aber ich verstehe irgendwie erst gar nicht, was genau \( \phi_\sigma \) mit einem \( v \in K^{n} \) macht. Was ist denn \( x_{\sigma^{-1}(1)} \) ? Müsste ich dafür nicht ein explizites \( \sigma \) gegeben haben?


    0 0

    Aufgabe:

    $$\text { Gibt es auf einem der Banachräume } L^{1}(\mathbb{R}) \text { oder } L^{\infty}(\mathbb{R}) \text { ein Skalarprodukt? }$$


    Problem/Ansatz:

    Ich habe hier ein Verständnisproblem. Ein Hilbertraum ist ja ein Banachraum, dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist. Warum sollte es auf dem L^1 kein Skalarprodukt geben? Anders gefragt: Ist der L^1 ein Hilbertraum und wenn ja, wie zeige ich das?


    0 0


    hätte jemanden Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen soll?

    Wir betrachten die lineare Abbildung \( \mathcal{L}_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad v \mapsto A v \) mit
    $$ A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {2} \\ {1} & {0} & {3} \\ {a} & {a} & {1-a} \end{array}\right), a \in \mathbb{R} $$
    Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a eine Basis vom Bild( \( \mathcal{L}_{A} \) ). Entscheiden Sie mit Begründung und in Abhängigkeit von a, ob die Abbildung \( \mathcal{L}_{A} \) injektiv ist. Geben Sie eine Basis vom Kern \( \left(\mathcal{L}_{A}\right) \) an, falls \( \operatorname{dim}\left(\mathrm{Kern}\left(\mathcal{L}_{A}\right)\right)>0 \)


    0 0

    Aufgabe:  Zu berechnen ist das Integral I = 0∫1 e^x dx

    Bestimmen Sie I als  Riemannsche Summe, indem Sie über eine Treppenfunktion integrieren!
    Dabei soll das Integrationsintervall [a,b] in n gleichbreite Stufen der Länge h=b-a/n=ti- ti-1, i=1,2,...,n unterteilt werden.

    Die Riemannsche Summe werde mit R(n) bezeichnet.


    Problem/Ansatz: Das Prinzip hinter der Riemannschen Summe verstehe ich. Allerdings haben wir bisher kein Beispiel durchgespielt, sodass mir nicht ganz klar ist wie ich die Aufgabe bearbeite. 

    Für jede Hilfe bin ich dankbar!


    0 0

    Der Whiskey-Hersteller McGormick hat als neues Produkt eine alkoholfreie Whiskeymarke auf den Markt gebracht. Für den Zusammenhang von Preis und Absatz geht das Unternehmen von der folgenden linearen Preis-Absatz-Funktion aus:
    \( \mathrm{p}(\mathrm{x})=60-1 / 30.000 \mathrm{x} \)
    a) Wie hoch ist der Prohibitivpreis auf diesem Markt und welche Bedeutung hat er?
    b) Welcher maximal mögliche Absatz wird mit der vorliegenden Funktion für die Marke explizit unterstellt?

    Antwort: 
    A) Prohibitivpreis erschließt sich aus der gegebenen Gleichung p(x) und beträgt 60€

    B) 

    $$p(x)= 60-\frac{1}{30000}x$$

    In U(x) = p(x) * x Formel einsetzen:  

    $$U(x)= (60-\frac{1}{30000}x) * x$$ 

    $$U(x)= 60x-\frac{1}{30000}x^2$$ 

    anschließend Ableiten: 

    $$U'(x)= 60-\frac{1}{15000}x$$ 

    nach x Auflösen: 

    $$x = 900 000$$ 

    x in p(x) Formel: 

    $$p(900000) = 60 - \frac{1}{30000}*900000$$ 

    $$ x = 30$$

    Antwort: Bei einem Absatz von 900 000 Stück und einem Preis von 30€ liegt der Umsatzmax bei 27 000000€ 




    0 0

    hey Leute,

    ich verstehe nicht ganz diese Aufgabe :

    \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}({\frac{n}{n+1}} \))n^2

    ich habe dazu die Potenzregel benutzt



    Foto 21.01.20, 14 16 33.jpg



    0 0

    Aufgabe:

    Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und f, g : V → V seien Endomorphismen mit der Eigenschaft f ◦ g = g ◦ f (z. B. g = f* für einen normalen Endomorphismus f eines unitären Raums V , oder g = f-für ein invertierbares f, . . . ). Zeigen Sie:
    (a) Ist λ Eigenwert von f, so ist der Eigenraum Eλ := ker(f − λ idV ) invariant unter g, d.h. g(Eλ) ⊆ Eλ.
    (b) Hat f insgesamt n verschiedene Eigenwerte, so ist g diagonalisierbar und jeder Eigenvektor von f ist ein Eigenvektor von g.
    (c) Sind f und g diagonalisierbar, so gibt es eine Basis von V , deren Vektoren sowohl Eigenvektoren von f als auch von g sind.


    Hinweis: Aufgabe 3 von Blatt 12 für g|Eλi verwenden.

    Aufgabe 3 von Blatt 12: Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und f : V → V sei ein diagonalisierbarer Endomorphismus. Zeigen Sie: Ist E ⊆ V ein f-invarianter Unterraum, d. h. gilt f(x) ∈ E für alle x ∈ E, so ist die Einschränkung f|E diagonalisierbar.


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    Aufgabe:

    Sei V ein unitärer Raum endlicher Dimension und f ∈ End(V ) normal. Zeigen Sie:
    (a) Für alle x, y ∈ V gilt ⟨f(x), f(y)⟩ = ⟨f*(x), f*(y)⟩.
    (b) x ist Eigenvektor von f zum Eigenwert λ genau dann, wenn x ein Eigenvektor von f* zum Eigenwert λ¯ ist.

    Hinweis: Man berechne ⟨f(x) − λx, f(x) − λx⟩.
    (c) Ist der Untervektorraum U von V f-invariant (d. h. f(U) ⊆ U), so ist U f*-invariant.


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    Aufgabe:

    Aus Klimaschutzgründen entscheidet sich eine Familie, ihre Ölheizung durch eine Pelletheizung zu ersetzen. Dafür plan sie im Garten einen Lagerschuppen, dessen Schnitt einer Parabel entspricht. Er soll etwa 3 Meter breit und 2,50 Meter hoch sein und insgesamt das Brennmaterial für zwei Jahre vorenthalten. Die sechsköpfige Familie verbraucht in diesem Zeitraum etwa 6,5 Tonnen (650 kg benötigen etwa 1m3 Platz).

    1. Wie lang muss der Schuppen gebaut werden, wenn er bis obenhin gefüllt werden muss

    2. Wie lang muss der Schuppen gebaut werden, wenn er aus Brandschutz- und Bequemlichkeitsgründen nur bis zu einer Höhe von 1,42 Meter befüllt werden darf?


    Problem/Ansatz:

    Leider verstehe ich diese Aufgaben nicht, da ich in der Stunde in der das Thema behandelt wurde gefehlt habe. Meine Klassenkameraden konnten mir auch keine Auskunft geben.

    Bitte um Hilfe

    Vielen Dank


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    Aufgabe:

    Eingabe: Eine aussagenlogische Formel ϕ.
    Frage: Gibt es eine Belegung die ϕ erfüllt, also eine Belegung β mit β |= ϕ?
    Sprache: sat = {code(ϕ) | ϕ ist eine erfüllbare Formel der Aussagenlogik},
    cnf-sat = {code(ϕ) | ϕ ist eine erfüllbare Formel der Aussagenlogik in CNF}.
    Wir betrachten nun die folgenden aussagenlogischen Formeln:
    ϕ1 = (x∨y∨z)∧(¬y∨ ¬z)
    ϕ2 = x∧(y∨ ¬x)∧(z∨ ¬y)
    ϕ3 = (x∨y∨z∨w)∧(x∨y∨z∨ ¬w)
    ϕ4 = (x∨y)∧(x∨ ¬y)∧(¬x∨y)∧(¬x∨ ¬y)
    1. Bestimmen Sie für jede Formel ϕi die Anzahl der Belegungen β, sodass β |= ϕi
    .
    2. Für welche der Formeln ϕi gilt code(ϕi) ∈ cnf-sat?


    Problem/Ansatz:

    Also das Entail Zeichen heißt ja, dass man zeigen kann, dass beide Seiten wahr sind oder?


    In wie fern kann man β |= ϕi zeigen, wenn β eine Anzahl von Belegungen sein soll?

    Komme mit der Aufgabenstellung nicht klar.


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    Gegeben sei eine lineare Abbildung

     f: ℝ^3 —>ℝ^3 mit

    f(x,y,z) := f(x,y,0)

    A) überprüfen Sie, ob die lineare Abb. f eine Projektion ist.

    B) Geben Sie die zur Abbildung f gehörende Abbildungsmatrix A an

    C) Bestimmen Sie die Produktmatrix A^2= A•A

    D) bestimmen Sie den Kern, das Bild, den Defekt und den Rang der Matrix A


    Für Matrix A gilt fx)= A • x


    Problem:

    A) Also ich weiß, dass eine Projektions Def:

    P•P=P

    Aber ich weiß Allgemein nicht wie ich a) - d) beweisen soll.

    Kann mir bitte jemand helfen


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    Ich soll Beweisen dass die Lösung eines Differenzialgleichungssystems eine bestimmte Form hat.

    Wenn ich die partikuläre Lösung mit dem Wronski-System bestimmen will kommt für c1' = 0 raus.

    Normalerweise wird das ja jetzt aufgeleitet. Wie verhält sich das in diesem Fall? Ich hätte gesagt, dass C1 dann eine Konstante aus R ist.

    Ich komme aber nur auf die richtige Lösung, wenn ich C1=0 verwende.


    Kann das so stimmen, bzw. kann ich mir in diesem Fall eine beliebige Stammfunktion von c1'=0 aussuchen? (In diesem Fall also C1=0)


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    Aufgabe:

    Aufträge unterschiedlicher Größe werden bearbeitet; dabei hängt die Bearbeitungszeit von der Größe des Auftrags ab. Die Größe eines Auftrags ist zufällig; es handelt sich dabei um eine zufällige Veränderliche X, deren Werte gleichverteilt im Interval [1,5] liegen und die damit die Dichte \(f_x(x) = 1/4\) für x e [1,5] und \(f_x(x) = 0\) für sonst besitzt.

    DIe Bearbeitungsdauer eines Auftrages ist eine exponentialverteilte Zufällige Veränderliche Y, deren Parameter \(\lambda\) von der Größe X des bearbeiten Auftrages abhängt: \(\lambda = 10 - X\)


    a) Berechnen Sie P(Y < 1/5)

    b) Berechen Sie E(Y)

    Problem/Ansatz:

    Ich bin mir nicht Sicher ob ich Richtig vorgehe, ob die Sachen die ich mache überhaupt "erlaubt" sind. Meine Frage ist daher wo mein Fehler liegt. Ich kann mir nicht vorstellen das mein Vorgehen (gerade die Fallunterscheidung bei Lambda) erlaubt ist. Und Wahrscheinlich muss man irgendwas mit Bedignten Wahrscheinlichkeiten machen, ich weiß aber nicht wo ich wie anfangen soll / was falsch ist..

    \(f_x(x) = \left\{\begin{matrix}\frac{1}{4} & x \in [1,5] \\ 0 & sonst \end{matrix}\right.\)

    a) Zunächst würde ich \(\lambda\) ausrechnen. \(\lambda = 10 - X\)

    \(\lambda = \left\{\begin{matrix}10 - \frac{1}{4} = \frac{39}{4}, & x \in [1,5]\\ 10 - 0 = 10, & sonst \end{matrix}\right.\)

    Hier bin ich mir schon nicht sicher ob dieser Schritt überhaupt so gemacht werden soll..


    Falls ja wäre \(\lambda = \frac{39}{4}\) im Fall von  \P(Y < x) = (P(Y < 1/5)\)

    \(P(Y < x) = P(Y \leq x) = 1 - e^{-\lambda \cdot x} \)

    \(P(Y \leq \frac{1}{5}) = 1 - e^{-\lambda \cdot \frac{1}{5}} = 1 - e^{- \frac{39}{4} \cdot \frac{1}{5}} = 1 - e^{- \frac{39}{20}} \) 
    \(\approx 0,14227\)


    b)

    \(F_y(x) = 1 - e^{- \lambda x}\)

    \(F_y(x) = \left\{\begin{matrix}1 - e^{x^2 - 10x} & x \in [1,5] \\ 1 - e^{-10x} & sonst\end{matrix}\right.\)

    \(E(Y) = \frac{1}{\lambda}\) (Erwartungswert der Exp.funktion)

    \(E(Y) = \frac{1}{\lambda} = \left\{\begin{matrix}\left ( \frac{39}{4} \right )^{-1} = \frac{4}{39}, & x \in [1,5] \\ \left ( 10 \right )^{-1} = 10, & sonst \end{matrix}\right.\)

    LG


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    Aufgabe:

    2. c.  Frau Weber zahlt jetzt \( 29.245,07 €, \) um eine nachschüssige Rente in Höhe von \( 2.400 € \) zu erhalten. Der Zinssatz beträgt \( 3,4 \% . \) Wie oft erhält sie diese Rente?


    Problem/Ansatz:


    Hallo zusammen!

    Ich habe aus der Aufgabe entnehmen können, dass es sich um den Rentenbarwert nachschüssig  handelt und mit der Formel

    \( B_{n}^{N}=R \frac{1}{q^{n}} \frac{q^{n}-1}{q-1} \)  gerechnet werden soll. Gesucht ist n und da fängt mein Problem an:


    Ich glaube ich muss jetzt die Aufgabe umstellen und logarithmus anwenden und ich weiss leider nicht wie.


    Ich hoffe mir kann jemand helfen und bin für jede Hilfe dankbar!


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    a) Zeigen Sie durch Ausmultiplizieren von \( A^{-1} A, A A^{-1} \) :Ist \( A=\left(\begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right) \) mit \( a d-b c \neq 0, \)

    so ist \( A \) invertierbar und es ist\[A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc}{d} & {-b} \\{-c} & {a}\end{array}\right)\]

    (Gibt ja für Matrizen größer als 2x2 keine "einfache" Formel)

    b) Wir betrachten die Menge von Abbildungen \( M:=\operatorname{Lin}\left(\operatorname{Lin}\left(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m}\right), \mathbb{R}^{k}\right), n, m, k \in \mathbb{N} \)Unter welcher Voraussetzung an \( n, m, k \) ist mindestens eine der Abbildungen aus \( M \) bijektiv?


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    Guten Tag liebe Mathelounge Community,

    ich bin neu hier in diesem Forum und versuche mich zurzeit auf meine Stochastikprüfung vorzubereiten und hänge leider sehr lange an einer Aufgabe.

    Aufgabe:

    Eine Urne enthält 10 Kugeln mit den Nummern 1,...,10. Es wird 4 mal gezogen ohne Zurücklegen.

    Modelliere dieses Experiment durch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum und beantworte folgende Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die kleinste gezogene Nummer k ist? (k = 1,...,10)


    Problem/Ansatz:

    Hierbei müsste es sich um eine hypergeometrische Verteilung handeln und Omega habe ich wie folgt definiert:

    Ω = {1,...,10}4 (weil man 4 mal ziehen kann). P{ω} = 10!/4!(10-4)! (Ich bin mir leider hierbei auch nicht sicher, ob dies stimmt, falls ich mich hier auch geirrt habe, bin ich für Korrekturen sehr dankbar!).

    Wo ich leider gar nicht weiter weiß ist, wie man die Wahrscheinlichkeit von k, der kleinsten gezogenen Nummer, ausrechnet.


    Mein Ansatz hierzu wäre, dass man die Formel für die hypergeometrische Verteilung nimmt:


     blob.png

    Text erkannt:

    \( P(X=k)=\frac{\left(\begin{array}{l}{M} \\ {k}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{N-M} \\ {n-k}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)} \)

     (Quelle: https://matheguru.com/stochastik/hypergeometrische-verteilung.html)


    Wobei N=10 wäre und n=4, aber weiter komme ich leider nicht.


    Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann und bedanke mich schonmal im Voraus.


    Mit freundlichen Grüßen


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    Seien A, B ≠ ∅Mengen und F⊆A×B,  so dass F nur aus einem Punkt besteht. Welche Bedingungen müssen A und B erüllen, damit F eine Abbildung ist?


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    Hoffe wir kann jemand bei dieser Aufgabe helfen (bin bisschen verzweifelt dabei) :-)

    Aufgabe:

    Consider a symmetric Cournot oligopoly with n ≥ 3 firms and an inverse demand function of the form p(Q) = 1 - Q. Each firm has constant marginal costs of c E {0, 1}.

    1. Derive the symmetric Cournot equilibrium.

    Suppose now that k E {2, ..., n - 1} of the firms merge. There is no cost synergy, such that firms' marginal costs remain at c.

    2. Using your results from 1., characterize the new symmetric Cournot equilibrium.

    3. Prove that the profits of outsiders (all firms which were not involved in the merger) must always increase.

    4. Provide the condition on n, k and c such that the joint profits of insiders (all firms which were involved in the merger) increase.

    5. Prove that the above condition is harder to satisfy as n increases. (Hint: Bring the relevant condition to the form (f(n) / g(g,k))^2 > k, where both f(n) and g(n,k) are strictly positive functions. This is harder to satisfy if f(n) / g(n) decreases in n, which you should prove.) Can you give an intuition for this result?

    6. Prove that if n is sufficiently large, a merger of n - 1 firms pays for these firms.


    Nachtrag (Kopie aus Kommentar): 

    Der Kurs in der Uni ist auf Englisch deshalb auch die Fragen. Antworten auf Deutsch verstehe ich.

    Im Großen und Ganzen geht es um ein Cournot Oligopol mit n gleich oder mehr 3 Firmen. Von diesen Firmen bilden {2, ..., n - 1} ein Kartell (ohne Synergien der Kosten). Man soll dann bei 1. und 2. das Cournot Gleichgewicht vor und nach dem Kartell aufstellen. Bei 3. soll man beweisen, dass die Gewinner der Firmen die nicht am Kartell teilnehmen steigen :-)


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    Aufgabe:

    Funktion:

    f(x,y)=5x^2+x^2*y+8x−4y−17

    Wie genau erhalte ich bei dieser Funktion die Art und Lage der lokalen Extrema, den Gradienten und die Hesse-Matrix von f ?



    Problem/Ansatz:

    Was würde hierbei als Ergebnis rauskommen? (Ich verstehe nicht, was ich hierbei genau machen muss)


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    Hallo Community,

    ich habe mit der folgenden Aufgabe in Teilaufgabe c) Probleme und Schwierigkeiten:

    Aufgabe:

    Berechnen Sie die Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) ) der Funktion
    $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x):=\sin ^{2}(x) $$
    indem Sie
    (a) alle Ableitungen \( f^{(n)}(0) \) berechnen und in die Definition der Taylorreihe einsetzen;
    (b) das Cauchy-Produkt von Reihen verwenden.
    Zusatzfrage und Hinweise: Warum ist a priori klar, dass die Taylorreihe von \( f \) gegen konvergiert? - Durch Koeffizientenvergleich sollten Sie auf die Identität \( \sum \limits_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {2 k+1}\end{array}\right)= \) \( 2^{2 n-1} \) stoßen. \( - \) Es gibt noch eine Abkürzung; wenn Sie diese finden, können Sie zwei Zusatzpunkte erwerben.


    Problem/Ansatz:

    A und b) konnte ich super lösen also denke ich zumindest ^^ :

    a)

    blob.jpeg

     b)blob.jpeg


     Probleme habe ich mit c) also die Zusatzfrage. Mir fällt kein Ansatz ein den ich verwenden könnte um eine Abkürzung zu finden.


    Lieben Gruß


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    Sind \(X\) und \(Y\) metrische Räume und ist \((f_n)_n\) eine Folge von stetigen Abbildungen \(f_n : X\to Y\), die gleichmäßig gegen die Abbildung \(f : X\to Y\) konvergiert. Warum ist dann die Grenzfunktion \(f\) ebenfalls wieder stetig?

    Antwort:
    Sei \(a\in X\). Mit der Dreiecksungleichung bekommt man die für alle \(x\in X\) und \(n\in \mathbb{N}\) gültige Abschätzung:$$d(f(a),f(x))\leq d(f(a),f_n(a))+d(f_n(a),f_n(x))+d(f_n(x),f(x))$$ Ich verstehe die Abschätzung nicht wirklich, kann das jemand nochmal weiter ausführen?


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  • 01/22/20--02:35: Lineares Wachstum- Zuwachs
  •  Aufgabe:

    Sei xt= 1,4 * t + 0,7 (lineares Wachstum)

    Geben Sie den Zuwachs von xt pro Zeiteinheit an.


    Problem/Ansatz:

    Wie löse ich diese Aufgabe?i


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  • 01/22/20--02:38: Halbwertszeit bestimmen!!
  • Aufgabe:

    Nach 24h hat die Medikamentenkonzentration im Blut noch 1/8 des Anfangswerts. Wie lautet die Halbwertszeit?


    Problem/Ansatz:

    Wie löse ich die Aufgabe?


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    Aufgabe:

    Um welchen faktor ändert sich die Größe yt= m*t + b zum Zeitpunkt t+1 ?

    Antwortmöglichkeiten: yt + 1/yt oder b oder m oder yt/yt+1


    Problem/Ansatz:

    Welche ist die richtige Lösung?


    0 0

    Morgen,

     Meine Folge lautet nk*qn für festen q∈ [0,1) und festes k∈ℕ und muss Limes inferior und superior bestimmen.

    ich habe mir gedacht, dass man als erstes eine Fallunterscheidung macht, indem ich für q=o einsetze, da es ja abgeschlossen ist, Aber naja ist nicht interessant, da ja dann die 0 rauskommt, was vielleicht interessant ist wenn ich mir die q∈(0,1) angucke.

    Aber ich weiß nicht wie anfangen soll abzuschätzen. Denke dass man vielleicht mit der Bernoullischen Gleichung arbeiten muss, aber wie gesagt brauche da leider bisschen Hilfe zu:/

    Mein Ansatz wäre : 1<\( \frac{1}{q} \), da q∈(0,1) weiter komm ich nicht. Ist das denn auch ein richtiger Ansatz?

    Danke im Voraus