Für welche λ ∈ ℝ sind die Vektoren \( \begin{pmatrix} 2\\λ\\3 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} -λ\\4\\-3 \end{pmatrix} \) ∈ ℝ3 linear abhängig?
Stellen Sie für diese λ den letzten Vektor als Linearkombination der ersten beiden dar.
Bei 7 Personen wurde der Hautwiderstand jeweils zweimal gemessen, einmal bei Tag (X) und einmal bei Nacht (Y). Man erhielt für das metrische Merkmal Hautwiderstand folgende Daten:
Man vermutet, dass der Hautwiderstand nachts absinkt. Lässt sich diese Vermutung durch die vorliegende Untersuchung erhärten?
Geben Sie für den Wilcoxon-Rang-Test den Wert der Teststatistik für X-Y an.
| X | 33 | 17 | 13 | 29 | 12 | 34 |
| Y | 22 | 25 | 19 | 15 | 24 | 18 |
| Diff | 11 | -8 | -6 | 14 | -12 | 16 |
| Rang | 4 | 2 | 3 | 5 | 1 | 6 |
Ich komme hier nicht weiter, wie komme ich auf das richtige Ergebnis? Stimmen meine Ränge?
Der vorliegende fiktive Datensatz enthält Daten von 200 Jeans-Bestellungen eines Großhändlers für Jeans in Deutschland. Die Variablen im Datensatz sind: der Preis [in Dollar pro Packungseinheit] (preis), die bestellte Menge [Anzahl der Packungseinheiten] (menge) und die Qualität der Jeans. Bei der Qualität wird unterschieden, ob es sich bei den Jeans um no-name Produkte (noname), Markenprodukte (marke) oder Designer-Jeans (designer) handelt. Eine lineare Regression mit dem Preis als abhängige Variable und der Menge sowie der Qualität als unabhängige Variablen liefert den folgenden R-Output, wobei die Qualität durch Dummyvariablen ersetzt wurde. Die Dummyvariable noname nimmt den Wert 1 an, wenn es sich um no-name Jeans handelt, ansonsten den Wert 0. Analog gilt dies für die Dummyvariable marke.
R> lm0 <- lm(preis ~ 1, data = datensatz)
R> lm <- lm(preis ~ menge + noname + marke, data = datensatz)
R> anova(lm0,lm)
Analysis of Variance Table
Model 1: preis ~ 1
Model 2: preis ~ menge + noname + marke
Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
1 199 36410
2 196 21993 3 14417 42.83 <2e-16
Text erkannt:
\( \mathrm{R}>\operatorname{lm} 0<-\operatorname{lm}(\text { preis } \sim 1, \text { data }=\text { datensat } 2) \)
\( \mathrm{R}>\operatorname{lm}<-\operatorname{lm}(\text { preis } \sim \text { menge }+\text { noname }+\text { marke, data }=\text { datensatz }) \) \( \mathrm{R}> \) anova \( (\mathrm{lm} \mathrm{O}, \mathrm{Im}) \)
Analysis of Variance Table Model 1: preis \( ^{\sim 1} \) Model 2: preis \( ^{\sim} \) menge \( + \) noname \( + \) marke Res.Df RSS Df Sum of Sq \( F P r(>F) \)
119936410
\( 2 \quad 196219933 \quad 1441742.83<2 e-16 \)
Bestimmen Sie das Bestimmtheitsmaß (R²) in %.
Aufgabe:
Es sei p ein komplexes Polynom vom Grad n≥1 mit den (nicht notwendigerweise verschiedenen) Nullstellen z1,...,zn. Zeigen Sie:
Zu jeder Nullstelle ζ von p' gibt es nicht-negative reelle Zahlen λ1,...,λn, so dass
$$ \zeta = \sum_{j=1}^{n} λ_{j}z_{j} \quad und \quad λ_{1} +···+ λ_{n} = 1, $$
d.h. die Nullstellen von p' liegen in der konvexen Hülle der Nullstellenmenge von p.
Problem/Ansatz:
Ich habe bereits Probleme einen geeigneten Ansatz zu finden,
Guten Nachmittag!
Ich hätte folgende Frage bzgl. Linearer Algebra:
Sei n ∈ ℕ. Welche der folgenden Abbildungen sind linear?
(1) Φ: Kn → K, (x1 , ... , xn) → x1 •...• xn
(2) ψ: Kn → Kn-1, (x1 , ... , xn) → (x1 , ... , xn-1)
(3) Seien X, Y Mengen und ω: Y → X eine Abbildung: ω* : Abb. (X , ℝ) →Abb. (Y , ℝ), f → f ° ω
Ich weiß, dass man f(x+y) = f(x) + f(y) und f(ax) = a f(x) prüfen muss, aber irgendwie scheitere ich an der Umsetzung...
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Viele Grüße Aqua_Supera
Aufgabe:
(a) Seien a,b ∈ R2 linear unabhängig. Wir betrachten die lineare Abbildung Pa,b: R2→R2(reelle Zahl),
die v = α a + β b auf Pa,bv=α abbildet.
Was ist die geometrische Bedeutung dieser Abbildung? Bestimmen Sie die Matrix MA (Pa,b) zu Pa,b bezüglich der Basis
A = (a,b) und die Matrix MK(Pa,b) bezüglich der kanonischen Basis K= (e1,e2).
(b) Es seien die Basen A=((1 + i,1−i),(1 + 2i,−1)) = (a1,a2) und B=((2 + 2i,2−2i),(1 +i,−2)) = (b1,b2) des Vektorraums C2 gegeben.
Dabei sind (1 + i,1−i) etc. die Darstellungen der Basisvektoren bezüglich der kanonischen Basis.
Berechnen Sie die zugehörige Transformationsmatrix S = (sij) mit bj = ∑i sij ai.
Text erkannt:
Hausaufgabe 5.1 Beweis von Lemma 3.4 .7 (30 Punkte) Seien \( K \) ein Körper, \( m, n \in \mathbb{N}_{\geq 1}, A, A^{\prime} \in \mathscr{M}_{m, n}(K) \) und \( b, b^{\prime} \in K^{m} \) gegeben. Weiter sei \( \left(A^{\prime}, b^{\prime}\right) \)
aus \( (A, b) \) durch endlich viele elementare Zeilenumformungen hervorgegangen. Beweisen Sie \( \operatorname{dass} \mathscr{L}(A, b)=\mathscr{L}\left(A^{\prime}, b^{\prime}\right) \) gilt.
Hausaufgabe 5.2 Lineare Gleichungssysteme (40 Punkte)
Kann mir jemand bitte zum Verständnis einen Beweis zu 5.1 schreiben? Das wär sehr lieb.
Text erkannt:
Extraaufgabe 5.4 Lineare Gleichungssysteme ibber endlichen Körpern Wir betrachten das lineare Gleichungssystem \( A x=b \) über \( \mathbb{Z}_{5}, \) wobei
$$ A:=\left(\begin{array}{llll} 2 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \end{array}\right), \quad \quad \quad b:=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) $$
wobei hier zur Abkürzung die Elemente von Zs nicht mit Klammern geschrieben wurden, d.h für alle \( x \in\{0,1,2,3,4\} \) steht \( x \) hier als Abkürzung für \( [x]_{5} \) Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaukverfahren und geben Sie \( \mathscr{L}(A, b) \) in der Form \( x^{*}+\left\langle b_{1}, \ldots, b_{k}\right\rangle \) mit passendem \( k \in \mathbb{N} \) und passenden Vektoren \( x^{*}, b_{1}, \ldots, b_{k} \) an. Repräsentieren Sie dabei alle Elemente aus \( \mathbb{Z}_{5} \) wieder mit Elementen aus \{0,1,2,3,43 Gehen Sie kleinschrittig vor und kommentieren Sie Ihr Vorgehen.
Kann mir jemand bitte eine kleinschrittige Lösung aufschreiben? Ich komme auf keine Lösung beim LGS.
Aufgabe:
Ich muss folgende Aufgabe lösen, habe aber keine Ahnung wie.
$$\text{Geben Sie alle } n\in\mathbb{Z}\text{ mit }n\cdot5\equiv7\:mod\:14\text{ an}.$$
$$\text{Geben Sie alle } n\in\mathbb{Z}\text{ mit }n\cdot10\equiv6\:mod\:25\text{ an}.$$
$$\text{Geben Sie alle } n\in\mathbb{Z}\text{ mit }n\cdot10\equiv7\:mod\:26\text{ an}.$$
$$\text{Geben Sie alle } n\in\mathbb{N}_0\text{ mit }2^n\equiv8\:mod\:15\text{ an}.$$
Problem/Ansatz:
Bei der ersten Aufgabe bin ich durch ausprobieren auf die Lösung
$$n=14\cdot x+7\text{ für ein }x\in\mathbb{Z}$$
gestoßen. Ist das richtig?
Gibt es ein Schema wie ich die restlichen lösen kann?
Aufgabe:
13) Ein Schiff fährt in östlicher Richtung. Den Leuchtturm „Felsencliff“ sieht man unter dem Winkel von 30° von der Nordrichtung nach Osten abweichend.
10 Seemeilen weiter sieht man vom Schiff den Leuchtturm unter dem Winkel von 10° von der Nordrichtung nach Osten abweichend. Wie weit ist das Schiff vom Leuchtturm entfernt?
Aufgabe:
Eine NGO möchte ein Entwicklungshilfeprojekt in einem ostafrikanischen Land durchführen. Dafür soll der Anteil der Personen, die unter dem Existenzminimum leben, geschätzt werden. Die NGO hätte gerne, dass der in der Erhebung geschätzte Anteil der Personen unter dem Existenzminimum in diesem Land mit einem 99%-Konfidenzkoeffizienten um weniger als 10 Prozentpunkte vom Populationswert abweicht.
Bestimmen Sie die notwendige Stichprobengröße, wenn Sie für den Ausdruck (1−π) in der Varianz seinen größtmöglichen Wert verwenden.
Problem/Ansatz:
Verstehe den Ansatz nicht.
Kann mir bitte jemand diese Rechnung Schritt für Schritt vorrechnen?
Danke!
Bei 7 Personen wurde der Hautwiderstand jeweils zweimal gemessen, einmal bei Tag (X) und einmal bei Nacht (Y). Man erhielt für das metrische Merkmal Hautwiderstand folgende Daten:
Man vermutet, dass der Hautwiderstand nachts absinkt. Lässt sich diese Vermutung durch die vorliegende Untersuchung erhärten?
Geben Sie für den Wilcoxon-Rang-Test den Wert der Teststatistik für X-Y an.
| X | 33 | 17 | 13 | 29 | 12 | 34 |
| Y | 22 | 25 | 19 | 15 | 24 | 18 |
| Diff | 11 | -8 | -6 | 14 | -12 | 16 |
| Rang | 4 | 2 | 3 | 5 | 1 | 6 |
Ich komme hier nicht weiter, wie komme ich auf das richtige Ergebnis? Stimmen meine Ränge?
Der vorliegende fiktive Datensatz enthält Daten von 200 Jeans-Bestellungen eines Großhändlers für Jeans in Deutschland. Die Variablen im Datensatz sind: der Preis [in Dollar pro Packungseinheit] (preis), die bestellte Menge [Anzahl der Packungseinheiten] (menge) und die Qualität der Jeans. Bei der Qualität wird unterschieden, ob es sich bei den Jeans um no-name Produkte (noname), Markenprodukte (marke) oder Designer-Jeans (designer) handelt. Eine lineare Regression mit dem Preis als abhängige Variable und der Menge sowie der Qualität als unabhängige Variablen liefert den folgenden R-Output, wobei die Qualität durch Dummyvariablen ersetzt wurde. Die Dummyvariable noname nimmt den Wert 1 an, wenn es sich um no-name Jeans handelt, ansonsten den Wert 0. Analog gilt dies für die Dummyvariable marke.
R> lm0 <- lm(preis ~ 1, data = datensatz)
R> lm <- lm(preis ~ menge + noname + marke, data = datensatz)
R> anova(lm0,lm)
Analysis of Variance Table
Model 1: preis ~ 1
Model 2: preis ~ menge + noname + marke
Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
1 199 36410
2 196 21993 3 14417 42.83 <2e-16
Text erkannt:
\( \mathrm{R}>\operatorname{lm} 0<-\operatorname{lm}(\text { preis } \sim 1, \text { data }=\text { datensat } 2) \)
\( \mathrm{R}>\operatorname{lm}<-\operatorname{lm}(\text { preis } \sim \text { menge }+\text { noname }+\text { marke, data }=\text { datensatz }) \) \( \mathrm{R}> \) anova \( (\mathrm{lm} \mathrm{O}, \mathrm{Im}) \)
Analysis of Variance Table Model 1: preis \( ^{\sim 1} \) Model 2: preis \( ^{\sim} \) menge \( + \) noname \( + \) marke Res.Df RSS Df Sum of Sq \( F P r(>F) \)
119936410
\( 2 \quad 196219933 \quad 1441742.83<2 e-16 \)
Bestimmen Sie das Bestimmtheitsmaß (R²) in %.
Aufgabe:
Gattierungsrechnung durchführen für folgende Aufgabe:
| Bekannt | Ziel | |
| m [g] | 4541 | ? |
| Si1 [%] / [g] | 9,5 / 431,395 | 10,5 / ? |
| Al1 [%] / [g] | 90,5 / 4109,605 | 89,5 / ? |
Problem/Ansatz:
Ich hoffe, die Tabelle ist soweit verständlich. Ich muss die Grammwerte für die Spalte "Ziel" berechnen. Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich auf entsprechende Zahlen (siehe ?) komme, weil mir ja eigentlich das finale Gewicht dieser Mischung fehlt und ich daraus nicht den entsprechenden Anteil berechnen kann. Ich habe mich für diese Aufgabe mit dem Mischungskreuz befasst, allerdings steig ich da nicht ganz hinter und weiß auch gar nicht, ob das der richtige Ansatz ist. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Zum besseren Verständnis: Das Gewicht und der Anteil der beiden Komponenten ist bekannt, daraus lässt sich ja das Gewicht der einzelnen Komponenten berechnen. Nun habe ich als Zielwert für Si1 den Anteil 10,5% erhalten, daraus ergibt sich, dass der Zielwert Anteil von Al1 89,5% betragen muss. Mit diesen Werten muss ich nun berechnen, wie viel von S1 in die Mischung hinzugegeben werden muss, um eine Lösung mit den entsprechenden Anteilen zu erhalten.
Aufgabe:
Sei G=S(ℝ) die Symmetrische Gruppe.
Beh.: U={f:ℝ→ℝ bijektiv mit f(x)=x für alle x < 0} ist eine Untergruppe von G
Problem/Ansatz:
U={S(ℝ): ∀ x<0: f(x)=x}
Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiß, worauf die x>0 abgebildet werden, also ob das beliebig ist, oder ob die nicht abgebildet werden. Aber weil die Funktion von ℝ und nicht von ℝ>0 abbildet, müssten diese Elemente ja auch abgebildet werden. Dadurch könnte ich eventuell ein Gegenbeispiel konstruieren, bei dem ich eine negative Zahl mit einer positiven Zahl verknüpfe. Seien a,b ∈ ℝ>0 beliebig: f(–a) o f(b), sodass mein Ergebnis nicht abgeschlossen ist. Oder ich verknüpfe zwei negative Zahlen und erhalte eine positive Zahl: f(–a) o f(–b), dann habe ich f(–a)→–a und f(–b)→–b.
Ein weiteres Problem ist: Da ich die gleiche Funktion habe, verstehe ich noch nicht, wie die Verknüpfung aussieht. Ich habe ja normalerweise zwei unterschiedliche Funktionen und nicht zwei unterschiedliche Elemente. Bei der Verknüpfung mit negativen Zahlen wäre, wenn ich das so machen darf: f((–a)•(–b))=f(ab)≠f(–a) o f(–b). Allerdings weiß ich auch nicht, was f(–a) o f(–b) ist, also ob das dann einfach (–a)•(–b)=ab ist, wobei dann bei der vorherigen Gleichung nicht klar ist, ob folgendes gilt: f((–a)•(–b))=f(ab)≠f(–a) o f(–b)= (–a)•(–b)=ab, weil ich ja nicht weiß ob die positiven Zahlen auch auf sich selbst abgebildet werden, also ob f(ab)=ab ist.
Ich hoffe man konnte verstehen, was ich meine. Aber vielleicht ist mein Ansatz auch komplett falsch.
Geben Sie zu den folgenden Potenzreihen bezüglich der allgemeinen Form \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k} \) jeweils die Koeffizienten \( a_{k}, \) die Entwicklungsstelle \( x_{0} \) und den zugehörigen Konvergenzradius \( \rho \) an:
(a) \( 12 x+\frac{4 !(1+2 x)^{2}}{2^{2}}+\frac{5 !(1+2 x)^{3}}{3^{3}}+\frac{6 !(1+2 x)^{4}}{4^{4}}+\cdots \)
(b) \( 5 ! \cdot 3^{3} \cdot\left(\frac{x}{4}-2\right)^{3}+5 ! \cdot 4^{4} \cdot\left(\frac{x}{4}-2\right)^{4}+5 ! \cdot 5^{5} \cdot\left[\frac{x}{4}-2\right)^{5}+\dots \)
(c) \( \sum \limits_{n=3}^{\infty}\left(x \cdot \sin \frac{2}{3 n}\right)^{2 n} \)
(d) \( \sum \limits_{m=2}^{\infty} \frac{m-1}{6+m} \cdot(2 x+2)^{3 m+4} \)
Problem/Ansatz:
zu a): wie kann ich umformen um auf die allgemeine form zu kommen? x0 müsste ja -1/2 sein wenn ich mich nicht irre...
hatten ein beispiel dazu das ich nachvollziehen kann allerdings mit x als 1. summand und nicht 12x und mit 1! im 1. zähler und nicht 4!. das verwirrt mich irgendwie...
zu b): bekomme ich \( \sum\limits_{n=3}^{\infty}{5!(n/4)^n} \) * (x-8)^n raus sowie q=∞ und ρ=0 also konvergiert es nur für x0 =8 ..
zu c) und d) fehlt mir wieder jeglicher ansatz und ich wäre für einen lösungsweg sehr dankbar :(
Aufgabe:Ich habe eine Funktionsfolge geben die wie laut definiert ist:
fk(x)= (k+2)*(k+1)*x^k* (1-x)-(k+1)*kx^(k-1) *(1-x), f0(x)= 2(1-x)
Ich soll jetzt die Gucken, ob die partialsummenfolge sn(x) xE[0,1] Punktsiege konvergiert Gegen eine grenzfunktion: unendlich summe k=0 mit fk(x)
Und dann gucken ob die partialsummenfolge auch gleichmäßig konv.
Problem/Ansatz:
Ich bin darauf gekommen das es Punktsiege konervergiert bin mir aber nicht sicher ob die Schreibweise richtig ist.
Und zu überprüfen ob gleichmäßig konv. Bin ich auf 2+0 ungleich 0 gekommen also nicht gleichmäßig konv
Aufgabe:
Hallo, ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:
Beweisen Sie, dass durch die Zähldichte f : Ω → ℝ ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,ℙ) gegeben ist, indem Sie die Kolmogorovschen Axiome (W1)-(W3) für das Wahrscheinlichkeitsmaß ℙ(A) =∑ω∈A f(ω) nachweisen.
Problem/Ansatz:
Ich weiß, dass die Axiome (W-Maß) die Eigenschaften haben:
W1) ℙ(A) ≥ 0
W2) ℙ(Ω) = 1
W3) ℙ(A∪B) = ℙ(A) + ℙ(B)
Doch wie beweise ich nun? Vielleicht hättet ihr ein paar Anregungen für mich, die mir weiterhelfen.
Liebe Grüße
Aufgabe:
Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler h der Polynome f, g ∈ k[X]. Finden Sie Polynome a, b ∈ k[X] mit af + bg = ggT(f, g).
a) f(X) = X^3 − X^2 − X − 2, g(X) = X^3 − 2X^2 , k = R.
b) f(X) = X^5−4X^4+6X^3−10X^2+6X−9,
g(X) = X^5−4X^4+5X^3−6X^2+X−3,k = R.
c) f(X) = X^6 + X^4 + X, g(X) = X^4 + 1, k = F2.
d) f(X) = X^3 − 1; g = X^4 + X^2 + 1; k = F3.
Zunächst habe ich den ggT von a.) und b.) bestimmt. Diese Luten für a.) x-2 und b.) x^2-x+2. Ich hoffe das stimmt.
Meine Fragen:
1. Wie berechne ich den ggT z.b. bei d.) dort habe ich die Polynomdivision solange durchgeführt bis 1/2 x + 1 Rest 1 raus kam. dort hänge ich dann aber. Wie mache ich hier weiter???
2. Kann mir jemand erklären, wie ich den zweiten Aufgabenteil löse?
Aufgabe:
Für n ∈ ℕ, sei pn das Interpolationspolynom vom Grad ≤ n, welches an den Stützstellen
xi = (i - 1) * \( \frac{2π}{n} \) (i=1,2,...,n+1)
mit der Sinusfunktion übereinstimmt. Für welche n wird sichergestellt, dass
| sin(x) - pn(x) | ≤ 1/100 für alle x ∈ [0,2π]
gilt?
Wie lautet die Antwort bei der analogen Fragestellung für eine Interpolation der Sinusfunktion über dem Intervall [0, π/2]?
Problem/Ansatz:
Wie beantworte ich diese Frage korrekt? Wie sieht die Rechnung aus?
Soll ich für n erstmal eine Zahl nehmen, z.B. 10?
Habe x1 bis x10 berechnet. Ist der Schritt richtig?