Gleichgewichtslagen des DGl-Systems bestimmen

January 13, 2019, 10:44 am

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Aufgabe:

$$\begin{pmatrix} x_{1}' \\ x_{2}'\end{pmatrix}  = \vec{v} (x_{1}, x_{2}) = \begin{pmatrix} sin(x_{1} + x_{2}) \\ x_{1}x_{2}-x_{1}+x_{2}-1\end{pmatrix}$$

a) bestimmen Sie die Gleichgewichtslagen des obigen Systems:

$$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} -1 \\ 1-\pi n \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} \pi n -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

ist das richtig?

b) Klassifizieren Sie die einzelnen Gleichgewichtslagen.

nun, wenn a richtig ist muss ich einfach die einzelnen Punkte in die Matrix einsetzen, die Jacobi bilden und die eigenwerte rausbekommen?

mfg

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Beweisen Sie: Hat jeder Knoten in einem Graphen einen Grad von mindestens 2, dann enthält der Graph einen Kreis.

January 13, 2019, 10:52 am

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Aufgabe:

Beweisen Sie: Hat jeder Knoten in einem Graphen einen Grad von mindestens 2, dann enthält der Graph einen Kreis.

Problem/Ansatz:

Sei G=(V, E) ein Graph, für den gilt: ∀ v ∈ V: deg(v) = 2
⇒ Jeder Knoten hat 2 Kanten
⇒ |E| = 2 * |V|
Haben hier jede Kante doppelt gezählt
⇒ |E| = \( \frac{2 * |V|}{2} \) = |V|
Laut Definition gilt: E ⊆ {{x, y} : x, y ∈ V, x ≠ y }
⇒ |E| Kanten müssen |E| + 1 Knoten verbinden, damit der Graph kreisfrei bleibt
⇒ da der Graph nur |E| = |V| Knoten enthält, muss der Graph einen Kreis enthalten

Kann man diesen Beweis so führen?

Beweis mittels Schubfachprinzip

January 13, 2019, 11:34 am

≫ Next: Sei f : [a, b] → R eine Riemann-integrierbare Funktion...

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Seien n∈ℕ und a₁,a₂,...,a_n∈ℕ. Zeigen Sie, dass die Indizes j,k mit j≤k existieren, sodass n|a_j+...+a_k. 

Problem/Ansatz: also für mich klingt es zwar logisch, jedoch habe ich keinen wirklichen Ansatz, wie ich die Aufgabe beweisen soll. Die erste Schlussfolgerung wäre das Schubfachprinzip, da wir das momentan behandeln...

Ich wäre sehr dankbar für Hilfe.

Sei f : [a, b] → R eine Riemann-integrierbare Funktion...

January 13, 2019, 1:28 pm

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Sei f : [a, b] → R eine Riemann-integrierbare Funktion mit f(x) > 0
für alle x ∈ [a, b]. Aus dem Riemann-Kriterium folgt, dass für jede natürliche n > 1 Treppenfunktionen ϕn, ψn ∈ T [a, b] mit 0 ≤ ϕn ≤ f ≤ ψn existieren, so dass gilt:
b

∫(ψn(x) − ϕn(x)) dx <1/n.

a
Wir betrachten die Treppenfunktionen pn(x) := √(ϕn(x) + 1/n0) −√(1/n)
und qn(x) := √(ψn(x) + 1/n).
Beweisen Sie:
(a) pn ≤ √ f ≤ (qn),
(b)b

      ∫(qn(x) − pn(x)) dx < 1/(√n) (b − a + 1).

     a
(c) Leiten Sie daraus ab, dass √f Riemann-integrierbar ist.

Ich weiss, dass diese Aufgabe schon mehrmals gestellt wurde, jedoch wurde keine einzige beantwortet. Ich würde mich über jede Lösung und jeden Lösungsweg freuen!!!!!!!!

Partialsumme von an = 2^(1 - n)·(2·n - 1)

January 13, 2019, 3:06 pm

≫ Next: Konvergiert die Folge der Ableitungen von fn(x):= √(x^2 + 1/n) gleichmäßig?

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Aufgabe:

Gegeben ist die Folge

an = 2^(1 - n)·(2·n - 1)

Gesucht ist die Partialsumme

sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

Wie kommt man am geschicktesten auf

sn = 6 - 2·0.5^n·(2·n + 3)

Konvergiert die Folge der Ableitungen von fn(x):= √(x^2 + 1/n) gleichmäßig?

January 13, 2019, 4:08 pm

≫ Next: Zeigen Sie, dass f ein Maximum fmax := maxx∈[0,∞) f(x) hat | Begründen Sie, dass gilt f([0,∞)) = (0,fmax].

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Aufgabe:

$$\text {Für } n \in \mathbb { N } \text { sei } f _ { n } : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \text { gegeben durch } f _ { n } ( x ) : = \sqrt { x ^ { 2 } + \frac { 1 } { n } }$$

Konvergiert die Folge $$\left( f _ { n } ^ { \prime } \right) _ { n \in N }$$ gleichmäßig?

Problem/Ansatz:

In den ersten Teilaufgaben habe ich bereits gezeigt, dass die Folge $$ \left( f _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } }$$ punktweise und gleichmäßig konvergiert. Habe leider keine Idee wie man nun zeigen soll, dass die Ableitung gleichmäßig bzw. nicht gleichmäßig konvergiert. Ich vermute Sie konvergiert nicht gleichmäßig. Ist aber mehr geraten als gewusst.

Wäre sehr nett, wenn mir da jemand helfen könnte.

Zeigen Sie, dass f ein Maximum fmax := maxx∈[0,∞) f(x) hat | Begründen Sie, dass gilt f([0,∞)) = (0,fmax].

January 13, 2019, 11:41 pm

≫ Next: Beweis von dem 2n-ten Fibunacci Glied mit Hilfe von Induktion

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Sei f : [0, ∞) → (0,∞) stetig und es gelte f(x) < 1 / x für alle x > 0.

a) Zeigen Sie, dass f ein Maximum f_max := max_x∈[0,∞) f(x) hat.

b) Begründen Sie, dass gilt f([0,∞)) = (0,f_max].

Beweis von dem 2n-ten Fibunacci Glied mit Hilfe von Induktion

January 14, 2019, 3:13 am

≫ Next: Wahrscheinlichkeit Autofahrer

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Hallo zusammen

ich habe bei folgender Beweiaufagbe Probleme:

F_2n=F_n(F_n+1+F_n-1)

Ich habe als Idee eine vollständige Induktion über n durchzuführen.

Den Induktionsanfang habe ich mit n=1 leicht hin bekommen.

F₂=F₁(F₂+F₀)=1(1)=1

Dennoch scheitere ich nun am Induktionsschritt. Kann mir da jemand behilflich sein?

Danke für eure Hilfe

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Wahrscheinlichkeit Autofahrer

January 14, 2019, 3:51 am

≫ Next: Untersuchen Sie folgende Funktion f : [0; 2] → ℝ auf Stetigkeit:

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86% der Autofahrer einer Stadt sind angeschnallt, und tagtäglich bekommt ein gewisser Anteil aller Autofahrer eine Strafe (aus verschiedenen Gründen). Ist ein Autofahrer angeschnallt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er gestraft wird, 10%. Trägt ein Autofahrer keinen Gurt, hat er mit einer Wahrscheinlichkeit von 23% mit einer Strafe zu rechnen.

Wenn ein Autofahrer keine Strafe bekommt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er dann nicht angeschnallt?

Kann mir bitte jemand helfen wäre sehr sehr nett  :)

Untersuchen Sie folgende Funktion f : [0; 2] → ℝ auf Stetigkeit:

January 14, 2019, 4:01 am

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Untersuchen Sie folgende Funktion f : [0; 2] → ℝ auf Stetigkeit:

f(x) = {     x²             : 0 ≤ x < 1

           \( \sqrt{x-1} \) + 2 : 1 ≤ x ≤ 2

Begründen Sie, dass die Funktion eine Umkehrfunktion f^-1 : f([0,2]) → [0,2] besitzt. Geben Sie diese an. Ist f^-1 stetig?

Mein Ansatz:

Macht man das überhaupt so und mit der Umkehrfunktion bin ich mir unsicher, wie soll man das denn begründen? Muss bei der Umkehrfunktion eventuell auch das Intervall vertauscht werden? Freue mich über eure Hilfe!^^

Betrachten Sie den Gewinn G=A⋅D−7500 und berechnen Sie P(G=10900)

January 14, 2019, 4:08 am

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Ein Hersteller interessiert sich für die Herstellung eines neuen Produkts. Sowohl die Absatzmenge A als auch der Deckungsbeitrag D pro Stück sind unsicher. Die Zufallsvariablen A und D seien stochastisch unabhängig mit folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

                                                                  

 \begin{aligned}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    $a$ & 1200 & 1500 & 2300 \\
    \hline
    $f(a)$ & 0.39 & 0.33 & 0.28 \\
    \hline
  \end{tabular}
  \quad
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    $d$ & 5 & 8 & 9 \\
    \hline
    $f(d)$ & 0.45 & 0.02 & 0.53 \\
    \hline
  \end{tabular}\end{aligned}      

Als Fixkosten entstehen 7500Euro.
Betrachten Sie den Gewinn G=A⋅D−7500
und berechnen Sie P(G=10900) ! (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

                                                            
 

Lineare Abbildung - Bestimmung und Rang

January 14, 2019, 4:28 am

≫ Next: Wie geht diese Aufgabe? Brauche Hilfe. Danke!

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Aufgabe:

$$\begin{array} { c } { \text { Betrachten Sie die Funktion } f : \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n \times n } \text { mit } } \\ { \left( \begin{array} { c c c c } { x _ { 1 } ^ { 2 } } & { x _ { 1 } x _ { 2 } } & { \cdots } & { x _ { 1 } x _ { n } } \\ { x _ { 2 } x _ { 1 } } & { x _ { 2 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { x _ { 2 } x _ { n } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { x _ { n } x _ { 1 } } & { x _ { n } x _ { 2 } } & { \cdots } & { x _ { n } ^ { 2 } } \end{array} \right) } \\ { \text { a) Bestimmen Sie } r g \left( x \cdot x ^ { T } \right) } \\ { \text { b) Handelt es sich bei } f \text { um eine lineare Abbildung? Beweisen Sie Ihre Antwort! } } \end{array}$$

Problem/Ansatz:

Irgendwie ist mir die Aufgabenstellung zu Abstrakt. Einen Rang kann ich doch nur bestimmen wenn ich sehen kann ob 0 Zeilen dabei sind?

Wie geht diese Aufgabe? Brauche Hilfe. Danke!

January 14, 2019, 4:50 am

≫ Next: Analysis 1 oder Real Analysis 1 - Extreme Mühe, ich finde keinen Anschluss.

≪ Previous: Lineare Abbildung - Bestimmung und Rang

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Wie geht das?

Bei einer Silvesterparty auf der Innsbrucker Nordkette werden aufgrund eines akuten Budgetmangels nur 68% der Raketen von einem renommierten Markenhersteller bezogen, die restlichen sind billige No-Name-Raketen. 2% der Marken-Raketen und 18% der Billig-Raketen sind “Blindgänger”, d.h. die Raketen können trotz Abbrennen der Zündschnur nicht abgefeuert werden.

Als die letzte Rakete angezündet wird, beginnt diese zwar, ganz fürchterlich nach Schwefel zu stinken, kann aber nicht abgefeuert werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich dabei um eine der Billig-Raketen?

(Bitte geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Analysis 1 oder Real Analysis 1 - Extreme Mühe, ich finde keinen Anschluss.

January 14, 2019, 4:58 am

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Problem Analysis 1:

Ich bin im Ersten Semester eines Mathestudiums. Ich hatte keinen LK Mathe Physik. 
Nun kam ich ins erste Semester und habe festgestellt, dass alles natürlich Axiomatisch aufgebaut ist. 
Das finde ich toll. 
Trotzdem habe ich Schwierigkeiten damit. 

Wieso mir Lineare Algebra besser geht:
Dasselbe Problem war bei der Linalg1 Vorlesung, ich hatte keinen Plan, ich war blieb aber sozusagen am Ball. 
Trotzdem kam ich nicht an mein Ziel. 
Was habe ich dann gemacht, 

Ich hab mithilfe Youtube gelernt es gibt immens viele Vorlesungsreihen über Linalg die aufgenommen wurden. 
Irgendwann habe ich über die Youtubewerbung selbst eine Online-Video-Lernplattform gefunden, die auch auf Universisty-level Kurse anbietet. Dort gab es auch Lineare Algebra anzuwählen. 


Aufbau des Kurses auf der Onlineplattform:
Dieser Kurs fing irgendwie bei LGS an und hat einen Extremen-Fokus auf Matrizenrechnung, dieser Kurs ist allerdings so aufgebaut, dass man immer ein Video hat, welches ein Teil-Thema vorstellt und dann  zwei drei Fälle zeigt und nachher hat man direkt Aufgaben dazu welche zu lösen sind bevor man weiterfährt. Diese  Aufgaben fangen aber immer dort an wo man mit Zahlen rechnet, also erst irgendwie die letzte Aufgabe findet im R^n statt und ist formal zu lösen. 
Für mich war das dann extrem logisch und extrem hilfreich und wie ein Sprungbrett zu der rein formalen Linalg die wir haben. 

Was habe ich gemerkt ?

Ich habe gemerkt dass das Lösen von LGS essenziell ist und noch viel mehr, dass man die Matrizenrechnung ganz grundsätzlich beherrscht. Wieso ? Ja ganz einfach, man fängt bei einem Problem mit LGS an, AHA! Ich darf das LGS ja als eine Matrize schreiben und dann kann ich es zum Beispiel auf ZSF bringen und von dort an, kann ich etlich viele wichtige Informationen rauslesen: Ist die Matrize linear unabhängig, Welchen Rang hat die Matrix etc... Irgendwann kommen sogenannte lineare Abbildungen phi, was macht phi, Aha dass ist nichts anderes als ein Vektor aus dem Definitionsbereich genommen und Linksmultipliziert mit einer Transformationsmatrix. Oder die Schnitte zweier Unterräume sind im einfachen Fall entweder Ebenenschnitte oder Geradenschnitte, und das habe ich auch nie gesehen ! Etc Etc... 

Definition, Theorem, Satz... Zusammenhang
Und nicht nur das, denn wenn ich Matrizenrechnung im Griff habe bin ich auch schlauer in Sache Definition, Theorem, Satz usw. Weil mir jetzt Aktuell alles viel einfacher geht. 

Mal Angenommen ich hätte vor Beginn des Studiums die Matrizenrechnung gekannt (Ich kannte nur Vektoren im R^2 bei Beginn) dann hätte ich gewusst, erstens wo ich mich bewege, was mir zum Beispiel der Satz sagt (der meist nach der Definition einer Matrize kommt) der besagt dass die Lösungsmenge eines LGS mit den drei elementaren Zeilenoperationen unverändert bleibt. Aha, ja klar! Ich hätte das gewusst, weil ich entweder en Masse  LGSe zuvor gelöst habe, die nach dem selben Prinzip zu lösen sind, oder weil ich schon Matrizen gehabt hätte. 

Was will ich sagen?
Ich denke ich bin ein Typ der etwas mehr Zeit und Unterstützung braucht um in die Materie rein zu kommen, vielleicht in genau eben dieser Form: Video, Aufgaben etc... 
Oder ich habe den Sinn Definition und Satz zu spät erkannt weil ich nur die Definitionen beachtet habe und ohne diese richtig zu verstehen bin ich nicht weiter zu den Sätzen. Aber erst mithilfe von Sätzen wurde dann für mich dass effektive Arbeiten möglich. Ich denke dass ich jetzt auf dem richtigen Weg bin in Sache Linalg... 

Frage:
Kennt jemand einen Kurs oder etwas in Sache Analysis 1 (real analysis 1) das helfen kann bei eben diesem Bedarf den ich habe? Am besten ein vollständiger Kurs (Nachhilfekurs). 
Oder ganz generell Tips zu meinem Problem.

Kombinatorik/Turnierplanung

January 14, 2019, 5:12 am

≫ Next: Trefferquote Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Es soll ein Turnier mit mehreren Durchgängen durchgeführt werden, wobei je Durchgang immer 4 Personen in einer Gruppe sind und jeder gegen die anderen Mitglieder in seiner Gruppe spielt.
Im nächsten Durchgang sollen neue Gruppen so gebildet werden, dass jeder drei neue Gegner bekommt.
(Bei jedem Durchgang sollen alle Teilnehmer spielen.)

Fragen:
1. Wie viele 4er-Gruppen kann man (aus einer durch 4 teilbaren) Gesamtmenge bilden, ohne dass zwei Personen in mehr als einer Runde zusammentreffen.
Anders formuliert:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Elemente einer (durch 4 teilbaren Menge) so in Vierergruppen anzuordnen, dass zwei Elemente höchstens ein Mal in einer Gruppe zusammentreffen.

2. Wieviele Personen sind notwendig, um zwei, drei oder vier Durchgänge spielen zu können.
(Beispiel: Für zwei Durchgänge braucht man 16 Personen, bei 20 Personen kann man mindestens 3 Durchgänge spielen.)

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Trefferquote Wahrscheinlichkeitsrechnung

January 14, 2019, 5:25 am

≫ Next: Wahrscheinlichkeit Elefantenbaby

≪ Previous: Kombinatorik/Turnierplanung

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Ein Basketballspieler erhält zwei Freiwürfe. Aus langer Beobachtung weiß er, dass er mit 69% Wahrscheinlichkeit beim ersten Wurf trifft. Die gleiche Trefferquote gilt auch für den zweiten Wurf. Die Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer unmittelbar hintereinander liegt bei 46,23%.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er beim 2. Wurf NICHT trifft, wenn er bereits beim 1. Wurf NICHT getroffen hat. (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Mein Ansatz:

	B	B'
A	0,4623	0,2277	/0,69
A'	0,2277	0,0823	/0,31
	/0,69	/0,31

Mein Ergebnis wäre 0,0823/0,31= 0,26548 = 26,55%
Könnte das stimmen?

Wahrscheinlichkeit Elefantenbaby

January 14, 2019, 5:28 am

≫ Next: Determinante aus vereinigter Matrix

≪ Previous: Trefferquote Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Seit ein paar Jahren gibt es einen neuen Test zur Vorhersage des Geschlechtes von Elefantenbabys. Dieser Test zeigt mit 85% Wahrscheinlichkeit an, dass es sich um ein männliches Elefantenbaby handelt, wenn dem auch so ist. Handelt es sich bei dem ungeborenen Tier allerdings um ein weibliches Baby, so liegt die Wahrscheinlichkeit für eine zutreffende Voraussage nur bei 65%. Aus Erfahrung kann gesagt werden, dass 54% aller neugeborenen Elefanten weiblich sind.

Nehmen Sie an, Sie wüssten, dass der Test das Geschlecht des Elefantenbabys nicht korrekt erkannt hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Elefantenbaby dann weiblich?

(Bitte geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Mein Ergebnis:

                M           W

Test M    0,391      0,189

Test W    0,069      0,351

G             0,46        0,54      1

0,351/(0,391+0,351)=0,473045822    in % un auf 2 Kommastellen gerundet 47,30 war aber falsch, habe ich falsch gerundet und muss auf 47,31 runden? Oder habe ich sonst einen Fehler?

Danke im voraus

Determinante aus vereinigter Matrix

January 14, 2019, 5:45 am

≫ Next: Normalverteilung (Durchnittswert, Standardabweichung)

≪ Previous: Wahrscheinlichkeit Elefantenbaby

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Aufgabe:

$$A = \frac { 1 } { 3 } \left( \begin{array} { c c c } { 2 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 2 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } & { 2 } \end{array} \right)$$

Sei a:R^3 -> R^3:v |-> A^-1 v . Ist a°a eine eigenltiche / uneigentliche Isometrie?

Problem/Ansatz:

um zu zeigen dass a°a eine eigentliche Isometrie ist muss sie orthogonal sein und die Det=1 haben.

Doch wie kann ich dies rausfinden wenn ich a nicht kenne?

Normalverteilung (Durchnittswert, Standardabweichung)

January 14, 2019, 5:54 am

≫ Next: Volumen unter Wasser aufbauen?

≪ Previous: Determinante aus vereinigter Matrix

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Aufgabe:

In einer Fabrik werden Konservendosen abgefüllt, deren Nettofüllgewicht als normalverteilt angesehen werden kann. Das durchschnittliche Nettofüllgewicht der Dosen beträgt 249,2 Gramm, die Standardabweichung 11,37 Gramm. Das Schild der Dosen gibt ein Nettofüllgewicht von 240 Gramm an. Berechnen Sie den Anteil der Dosen, die untergewichtig sind.

Problem/Ansatz:

Ich komme überhaupt nicht weiter bei der Aufgabe, mir fehlt auch der Ansatz. Kann mir da jemand vielleicht weiterhelfen?

Danke schonmal!

Volumen unter Wasser aufbauen?

January 14, 2019, 5:59 am

≫ Next: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ist das Elefantenbaby dann weiblich?

≪ Previous: Normalverteilung (Durchnittswert, Standardabweichung)

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Aufbau:

Ich habe 2 Blasebalg.

Diese sind mit einem starren Schlauch (d = 5 cm), Wasserdicht, miteinander verbunden.

Wenn einer geöffnet ist hat er 4 Liter Luft-Volumen, der andere null, und umgekehrt.

Ich lege nun einen auf den Grund eines Schwimmbeckens, in 2,5 Metern Tiefe.

Der andere steht oben am Beckenrand.

Der Balg am Grunde ist nun natürlich vom Wasserdruck zusammen gedrückt, also auf 0 Volumen.

Der oben am Beckenrand ist geöffnet und hat 4 Liter Luft-Volumen.

Frage:

Wie viel Kg Gewicht muss ich auf den Balg am Beckenrand stellen (mit wie viel Kraft muss ich drücken), damit sich der am Beckengrund, in 2,5 Metern Tiefe öffnet, und ein Volumen von 4 Litern erzeugt?

Es können alle anderen Einflüsse die eine geringe Zusatz-Kraft benötigen würden, wie, Außendruck, Größe des Schwimmbeckens, Luftdurchfluss im Schlauch, Temperatur des Wassers usw, bei Seite gelassen werden.

Bitte nur antworten, wer wirklich eine Ahnung hat und es berechnen kann, Danke! 

KS