Hallo liebe Mathe-Freunde,
ich hab die Aufgabe bekommen, die allgemeine Ungleichung vom arithmetisches und geometrischen Mittel vorzustellen. Dabei wurde das Thema vom Dozenten bereits ausgearbeitet und die Aufgabe besteht darin, das Thema zu verstehen und zu erklären. Aber gerade da liegt das Problem: Ich verstehe den Beweis nicht und benötige da eure Hilfe.
Deswegen folgend das "ausgearbeitete" Thema:
Allgemeine Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel: Für alle x1...xn>0 gilt: $$ \left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{1 / n} \leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} $$
Beweis: Der Beweis besteht aus zwei Schritten:
(a) Für alle x1...xn>0 gilt: $$ \prod_{i=1}^{n} x_{i}=1 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} x_{i} \geq n $$
Beweis durch Induktion nach n. Der Fall n=1 ist klar. Angenommen nun die Behauptung gilt für n Element N und es seien x1...xn+1> 0 mit $$ \prod_{i=1}^{n+1} x_{i}=1 $$
Indem man ggf. umordnet, kann man x1≤ x2 ≤ ... ≤ xn+1 annehmen. Dann folgt aber xn+1 ≥ 1, denn wäre xn+1< 1, so wäre xi< 1 für alle i = 1...n+1 und somit auch $$ \prod_{i=1}^{n+1} x_{i}<1 $$, im Widerspruch zur Voraussetzung. Analog folgt x1 ≤ 1
Da nach Voraussetzung die Behauptung für n stimmt, folgt aus $$ \prod_{i=1}^{n+1} x_{i}=1 $$ zunächst $$ x_{1} x_{n+1}+x_{2}+\ldots x_{n} \geq n $$. Das liefert
$$ \sum_{i=1}^{n+1} x_{i} \geq n-x_{1} x_{n+1}+x_{1}+x_{n+1}=n+1+\left(1-x_{n+1}\right)\left(x_{1}-1\right) $$
Wegen xn+1≥ 1 und x1≤1 ist $$ \left(1-x_{n+1}\right)\left(x_{1}-1\right) \geq 0 $$ und es folgt $$ \sum_{i=1}^{n+1} x_{i} \geq n+1 $$
(b) Nun seien x1...xn>0 beliebig. Wir setzen $$ a :=\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{1 / n} $$. Dann ist $$ \prod_{i=1}^{n}\left(x_{i} / a\right)=1 $$ und somit folgt aus (a) $$ \sum_{i=1}^{n} x_{i} / a \geq n $$, also:
$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \geq\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{1 / n} $$ $$ \square $$
Tut mir leid, dass das ein so lange Beitrag ist, aber ich denke, es ist sinnvoller, aufzuschreiben, was gegeben ist, da es ja verschiedenste Möglichkeiten gibt die Ungleichung zu beweisen.
Mein Verständnisproblem beginnt bereits bei (a) beim Umordnen und zieht sich dann bis zum Schluss durch.
Ich bin über jeden Hinweis und jede Erklärung sehr dankbar und danke euch jetzt schon, dass ihr euch die Zeit genommen habt, mein Problem durchzulesen.
Liebe Grüße und schönen Rest-Sonntag!