Wie begründet man, dass das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom in diesem Fall gleich sind?

June 7, 2019, 11:21 pm

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Aufgabe:

Sei f ∈ End_K(V) ein diagonalisierbarer Endomomorphismus mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ_1,...,λ_k. Zeigen Sie, dass dann p_f  = (t - λ₁)···(t - λ_k).

Problem/Ansatz:

Def. 1:

Für jedes f ∈ End_k(V) sind äquivalent:

i)   f ist diagonalisierbar

ii)  χ_f = π^k_i=1 ( t - λ_i )ⁿⁱ   , n_i ∈ |N und λ_i ∈ K  (i = 1,...,k), zerfällt also in Linearfaktoren und es gilt dim(V_λi ) = n_i

Def. 2:

Das Minimalpolynom p einer quadratischen n x n Matrix A über einem Körper K ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K, so dass p(A) = 0 (die Nullmatrix) ist.

Lösungsansatz:

f diagonalisierbar ⇔ χ_f = π^k_i=1 ( t - λi )ⁿⁱ  

EW paarweise verschieden

⇒ algebraische Vielfachheit der EW: n₁ = n₂ = ....= n_k = 1

⇒  χ_f  = π^k_i=1 ( t - λi ) = (t - λ₁) · (t -  λ₂) ··· (t -  λ_k)

Problem:

Nun weiß ich jetzt nicht wie ich begründen soll, dass in diesem Fall  χ_{f =} p_f  gilt.

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Wie forme ich diese Formel um?

June 8, 2019, 1:56 am

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Ich verstehe hier nicht, wie man von (a/b) = cos (phi) /a/ x /b/ auf (a/b)= -2 = 4cos(phi) kommt. Wo ist denn das /a/ x /b/ hin?

Begriffsklärung - Unterschied zwischen "Numerische Mathematik" und "Numerische Methoden"

June 8, 2019, 2:29 am

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Hallo !

Kurz eine Frage, was sind die Unterschiede zwischen numerischer Mathematik (in unserem Mathe-Studiengang) und den numerischen Methoden (im Physikstudiengang an unserer Hochschule) ?

Wir in Mathe arbeiten mit Matlab, 
die Physiker arebeiten mit Python. 

Ich frage, weil es zum Thema Numerik verschiedene Bücher gibt und manchmal heissen sie "numerical methods" und manchmal eben "numerische Mathematik" und mir fehlt der Durchblick hier. 

Integration nötig? Wie? Gesucht: Maximum-likelihood-Schätzer und einen Momentenschätzer für Θ

June 6, 2019, 8:09 am

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Kann mir jemand helfen mit Integralen und Integration

Aufgabe: angenommen x1....Xbox sind i.i.d zufallsvariable mit dichte

fθ(x)= {θx^Θ-1 falls 0<x<1

              0      Sonst

Wobei Θ> 0 gilt . Bestimmen Sie den Maximum-likelihood-Schätzer und einen Momentenschätzer für Θ

Wahrscheinlichkeit eines Unentschiedens beim Black Jack?

June 8, 2019, 3:48 pm

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Aufgabe:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eines Unentschiedens beim Black Jack. Regeln einfach ganz normal ohne Stopp bei 17 usw

Problem/Ansatz:

Binomialverteilung

Zeigen Sie, daß fur alle Mengen A, B gilt: A × B ∈ P(P(P(A ∪ B))) .

June 9, 2019, 5:32 am

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Zeigen Sie, daß für alle Mengen A, B gilt: A × B ∈ P(P(P(A ∪ B))) .

kann mir jemand dabei helfen?

danke im Voraus..

Sei R eine Relation auf A. Zeigen Sie, daß es eine ⊆ - kleinste Relation R∗ auf A gibt mit R ⊆ R∗ und R∗ transitiv.

June 9, 2019, 6:09 am

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Aufgabe

Sei R eine Relation auf A. Zeigen Sie, daß es eine ⊆ - kleinste Relation R∗ auf A gibt mit R ⊆ R∗ und R∗ transitiv.

Frobeniusnorm überprüfen

June 9, 2019, 8:37 am

≫ Next: Anti-selbstadjungierter Endomorphismus

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Überprüfen Sie, dass folgende Formel eine Norm auf dem ℝ-Vektorraum M (n, n, ℝ) aller reellen nxn-Matrizen angibt: || A ||_F := ( \( \sum\limits_{ij=1}^{n}{} \) a²ij )½.   Diese Norm heißt Frobeniusnorm auf M (n, n, ℝ). 

Beweisen Sie: Für n ≥ 2 existiert keine Norm ||•|| auf ℝ^n, so dass ||A||_F = max {||Ax||   |x∈ℝⁿ Und ||x|| ≤1} für alle reellen nxn-Matrizen gilt. 

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Anti-selbstadjungierter Endomorphismus

June 10, 2019, 1:46 am

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Aufgabe: Sei (V, ⟨· , ·⟩) ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei f: V→V ein anti-selbstadjungierter Endomorphismus mit ⟨f(v),w⟩ = -⟨v. f(w)⟩.

Problem: Wie beweist man: Ist f anti-selbstadjungiert und λ∈ℝ ein Eigenwert von f, dann gilt λ=0?

Vielen Dank im Voraus!

normaler Endomorphismus

June 10, 2019, 1:55 am

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Aufgabe: Sei (V, ⟨·,·⟩) ein endlichdimensionaler euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Sei f∈ End(V) normal, d.h. f ° f* = f* ° f.

Problem: Wie zeigt man folgende Aussagen?

(1) v ist ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ genau dann, wenn v ein Eigenvektor von f* zum Eigenwert   ¯λ  ist.

     (Berechnung von ⟨f(v)-λv, f(v)-λv⟩)

(2) Ist ein Untervektorraum U⊆V invariant unter f (also f(U)⊆U), dann ist U⊥ invariant unter f*.

Vielen Dank!

Chi-Quadrat Test - Normalverteilung

June 10, 2019, 2:55 am

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ich habe leider bei folgendem Beispiel ein Problem bei der Vorgehensweise:

Um den mittleren Benzinverbrauch eines neuentwickelten PKW’s zu bestimmen, wurden 100 Testfahrzeuge ausgewählt und an ihnen der Benzinverbrauch X in Liter pro 100 km festgestellt. Die Stichprobenuntersuchung führte zu dem folgenden Ergebnis
(alle Werte in l/100 km):

Testen Sie auf einem Signifikanzniveau von = 1%, ob die Zufallsvariable  normalverteilt ist.

Für die ganze weitere Berechnung brauche ich jedoch µ und σ, (ich gehe davon aus diese mit der MLM zu berechnen => jedoch weiß ich nicht wie ich dies anhand von der gegebenen Tabelle umsetze)

Weiterhin: Wenn ich eine Anzahl von Freiheitsgraden von zB: 20,4 ausrechne, ist es dann sinnvoll auf die nächste ganze Zahl auf- oder abzurunden?

Danke für die Hilfe

Zeige, es gibt zwei Umgebungen, sodass F(x,y) ein Diffeomorphismus

June 10, 2019, 3:55 am

≫ Next: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

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Aufgabe:

Vor.: Sei F:ℝ²→ℝ² mit F(x,y)=(2ycosx , ysinx) für alle (x,y)∈ℝ²

Beh.: Es gibt Umgebungen U und V von (0,1) bzw. (2,0), so dass F:U→V bijektiv und F^-1:V→U differenzierbar. Berechne DF^-1(2,0).

Problem/Ansatz:

Die Existenz der Umgebungen werde ich wohl mit dem Satz über implizite Funktionen zeigen müssen, mir ist jedoch nicht klar, wie genau ich das in diesem Fall hier machen soll, da ich hier ja zwei verschiedene Punkte für die Umgebungen habe. Dann müsste ich wissen, wie ich beweise, dass F:U→V bijektiv ist und wie ich F^-1 bestimme. Die Berechnung von DF^-1 sollte ich dann hinbekommen.

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

June 10, 2019, 10:28 am

≫ Next: Ist ABC ein Dreieck in einer affinen Ebene und D ein Punkt

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Ich verstehe einen Teil zum Beweis der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung nicht:

Zunächst, das, was zu zeigen ist:

$$ \forall \ x,y\in V:\ \langle x,y\rangle \cdot \overline{\langle x,y\rangle} \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$$

Ok, für x=0 oder y=0 ist diese Aussage trivial.

Betrachte also x,y∈V\{0}, mit α∈K. Dann folgt:

$$ \langle x-\alpha\cdot y,x-\alpha\cdot y \rangle = \langle x,x-\alpha\cdot y \rangle - \alpha \cdot \langle y, x-\alpha\cdot y\rangle\\ = \langle x,x\rangle -\overline{\alpha} \cdot \langle x,y \rangle -\alpha\cdot \langle y,x \rangle+\alpha \cdot \overline{\alpha} \cdot \langle y,y \rangle$$

FRAGE: Weshalb wird hier das Alpha konjugiert?

Ist ABC ein Dreieck in einer affinen Ebene und D ein Punkt

June 10, 2019, 10:50 am

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Ist ABC ein Dreieck in einer affinen Ebene und D ein Punkt so, dass die Punkte A1 =
(A ∨ D) ∩ (B ∨ C), B1 = (B ∨ D) ∩ (A ∨ C) und C1 = (C ∨ D) ∩ (A ∨ B) existieren, so gilt

(C₁B/C₁A)  * (A₁C/A₁B) * (B₁A/B₁C) = −1.

Ich war letzte Woche leider zur Vorlesung rank. Versuche mich jetzt an paar Übungsaufgaben zu dem Thema was wir letzte Woche gemacht haben. Könnte mir jemand bitte bei der Aufgabe hier behilflich sein?

Grenzwert bis auf einen Fehler vom Betrag \(>10^{-4}\) berechnen?

June 10, 2019, 11:42 am

≫ Next: Transformieren Sie die Fläche 2. Ordnung auf Normalform, wie?

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Berechnen Sie den Grenzwert bis auf einen Fehler vom Betrag \(<10^{-4}\). Wie viele Reihenglieder benötigen Sie hierfür?

Gegeben ist \(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(3i)^k}{k!}}\). 

Wie gehe ich hier vor? 

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Transformieren Sie die Fläche 2. Ordnung auf Normalform, wie?

June 10, 2019, 1:17 pm

≫ Next: Viereck in Affine Ebene R^n

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Hallo Liebe MatheLounge Community,

Ich komme derzeit absolut nicht weiter bei der folgenden Aufgabe:

Transformieren Sie die Fläche 2. Ordnung auf Normalform:

2ßx^2 + 5y^2 +5z^2 -1 = 0

und entscheiden Sie welcher Flächentyp für welches ß angenommen werden kann.

Ich weiß das die Frage zuvor schonmal gestellt wurde (2016), jedoch ohne Rechenschritte.

Ich wäre euch sehr Dankbar !

Liebe Grüße

Seiko

Viereck in Affine Ebene R^n

June 11, 2019, 12:01 am

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Aufgabe:

Sei PQP’Q‘ ein Viereck in einer affinen Ebene im Rⁿ mit der Eigenschaft, dass sich die Geraden PP’, QQ‘ in einem Punkt R und die Geraden PQ‘ , QP‘ einem Punkt S schneiden. Zeigen Sie, dass R ≠ S und dass die Geraden PQ, P’Q‘ genau dann parallel sind, wenn sich die Geraden RS, PQ im Mittelpunkt der Strecke PQ schneiden.

Hinweis: Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem.

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen, ich gehe mal davon aus das man diese Aussage beweisen soll, ich habe aber keine wirkliche Idee, wie man dies machen soll, da wir in der Vorlesung noch nicht soweit waren.

Dreieck in affiner Ebene

June 11, 2019, 12:06 am

≫ Next: Normal-Approximation Verständnis Frage

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Aufgabe:

Ist ABC ein Dreieck in einer affinen Ebene und D ein Punkt so, dass die Punkte A1 = (A ∨ D) ∩ (B ∨ C), B1 = (B ∨ D) ∩ (A ∨ C) und C1 = (C ∨ D) ∩ (A ∨ B) existieren, so gilt

\( \frac{C1*B}{C1*A} \) * \( \frac{A1*C}{A1*B} \) * \( \frac{B1*A}{B1*C} \) = -1.

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen, in der Vorlesung waren wir noch nicht so weit und habe keine Idee, wie ich die Aufgabe lösen soll?

Normal-Approximation Verständnis Frage

June 11, 2019, 12:36 am

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Ich verstehe nicht ganz, weshalb man die Normal-Approximation benötigt. Es heisst sie wird verwendet, da der Binomialkoeffizient sehr aufwändig zu rechnen ist, mit grösseren n. Bezieht sich das auf das rechnen von Hand? Mit einem guten TR geht das ja einfach. Würde man die Approximation auch vollständig von Hand lösen, ist dass ja dann ohne eine Tabelle auch viel zu aufwändig?

eindlichdimensionaler Vektorraum

June 11, 2019, 12:41 am

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Aufgabe

Sei V ein eindlichdimensionaler Vektorraum und F : V → V ein Endomorphismus. Es sei definiert: W0 :=V und Wi+1 =F(Wi) für i∈N. Zeigen Sie:Es gibt ein m∈N mit Wm+i =Wm für alle i∈N.

Problem/Ansatz: