Aufgabe:
Für eine Funktion f : [a, b] →ℝ und x₀ ∈ ]a, b[ betrachten wir die Eigenschaft
lim n→∞ n [f(x₀-1/n )−f(x₀)] = lim n→∞ n [f(x₀+1/n )−f(x₀)] (∗)
Genauer sagen wir, dass (∗) gilt, falls die beiden Grenzwerte existieren und gleich sind.
(a) Zeigen Sie: Ist f in x₀ differenzierbar, so gilt (∗) und die Grenzwerte sind gleich f′(x₀).
(b) Beweisen oder widerlegen Sie: Gilt (∗), so ist f differenzierbar in x₀. (Hinweis: Betrachten Sie die „Dirichlet-Funktion“ f : [a, b] → ℝ definiert durch f(x) = 1, falls x ∈ ℚ ∩ [a, b], und f (x) = 0, sonst.)
Problem/Ansatz:
a) Ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass es differenzierbar ist, denn ich habe ja keine Funktion gegeben... deswegen weiß ich nicht, wie ich die Funktion lösen soll.
b) haben wir das nicht dann in a) quasi schon gezeigt? Wie macht man das andersherum?
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen :)