Permutationen berechnen - sgn(ρ), sgn(σ), sgn(ρ ◦ σ) , sgn(ρ ◦ ρ), sgn(ρ ◦ ρ ◦ ρ)

November 17, 2019, 11:22 am

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Guten Abend :)

Ich soll die folgenden fünf Zahlen zu berechnen:

sgn(ρ), sgn(σ), sgn(ρ ◦ σ) , sgn(ρ ◦ ρ), sgn(ρ ◦ ρ ◦ ρ)

$$ρ=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 5  \end{pmatrix}$$ $$σ =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 4 & 2 & 1  \end{pmatrix}$$

Wie berechnet man das ? Ich wollte schreiben z.B. für $$sgn(ρ ◦ σ) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 1 & 3 & 2  \end{pmatrix}$$ wäre das richtig? Falls ja, dürfte ich es dann auch für die anderen 4 Fragen benutzen?

Vielen Dank im voraus.

LG :)

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Kennenlernen an Tischen

November 18, 2019, 1:45 am

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Hallo zusammen,

ich habe ein Problem und weiß nicht mehr weiter.

Meiner Meinung nach ist das nicht machbar, aber ich wollte mal die Meinung von Profis einholen :)

Sachverhalt:

Wir haben eine Firmenveranstaltung mit 70-90 Personen.
Da diese alle aus unterschiedlichen Büros kommen, sollen sich zuerst mal alle kennen lernen.
Dafür steht uns ein Raum mit 8er oder 10er (entweder oder) Tischen zur Verfügung und wir haben eine Stunde Zeit. Vorgegeben werden 5 Fragen, die dann jeder schnell beantworten soll, bevor es ein Zeichen gibt, damit Plätze gewechselt werden.

Der Plan ist, dass jeder einmal mit jedem am Tisch sitzt, aber niemals mit jemandem zwei mal.

Ist das möglich? Ich habe versucht, das mal durchzuplanen (und bin der Einfachheit halber von 100 Leuten, also 10 10er Tischen ausgegangen), aber ich kam dazu, dann es nicht möglich ist.

Habe ich da einen Fehler in meiner "Logik"?

Falls nein, was wäre denn die einfachste/beste Methode, damit es möglichst wenige Doppelungen gibt?

Vielen Dank schon einmal für Eure Hilfe!

PS: Ich bin kein Mathematiker, also bitte wie mit einem Kind sprechen :D

Untersuchen sie folgende Aufgaben ob sie stochastisch unabhängig sind

November 18, 2019, 2:14 am

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Aufgabe:

Aufgabe 1: Gewinnchancen beim Würfeln mit drei Spezialwürfeln
Gespielt wird mit einem weißen, einem gelben und einem schwarzem Spezialwürfel. Die wie folgt beschriftet wurden:
weißer Würfel (Augenzahl): 1,2,6,2,6,5 gelber Würfel ( Augenzahl) 2,3,4,3,4,5 schwarzer Würfel( Augenzahl) 1,3,5,1,5,6 
Spielvariante A (zwei Spieler):
Der erste Spieler wählt einen Würfel aus. Anschließend wählt der zweite Spieler einen der verbleibenden Würfel, danach würfeln beide Spieler mit ihrem Würfel. Ziel ist es, eine höhere Augenzahl zu würfeln.
Variante B (zwei Spieler):
Der Spielablauf wird dahin gehend verändert, dass die drei Würfel in eine Urne gelegt werden, aus der der erste Spieler ohne hinzusehen einen Würfel zieht und würfelt.
Anschließend zieht der zweite Spieler ohne hinzusehen einen der verbleibenden Würfel aus der Urne und würfelt ebenfalls. Gewonnen hat der Spieler, der die höhere Zahl gewürfelt hat.

Aufgabe:

iii. Untersuchen für beide Spielvarianten A und B,
◦ ob das Ereignis „Der zweite Spieler gewinnt‟ stochastisch unabhängig von der Farbe des Würfels ist, den der erste Spieler ausgewählt bzw. gezogen hat.
◦ ob das Ereignis „Der gelbe Würfel gewinnt‟ stochastisch unabhängig von dem Ereignis „Der gelbe Würfel wird im ersten Zug ausgewählt bzw. gezogen‟ ist.
iv. Der erste Spieler hat mit dem schwarzen Würfel eine 3 geworfen. Vergleichen Sie für die Spielvarianten A und B den weiteren Spielverlauf und berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Spieler gewinnen wird.

Problem/Ansatz:

Aufgabe iii, iv

Es sei (X,+,*) ein Ring mit Einselement 1.

November 18, 2019, 5:18 am

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Aufgabe:

Es sei (X,+,*) ein Ring mit Einselement 1. In X werden durch
⊕:X×X→X:(x,y)⟼x⊕y≔x+y+1, ⨀: X×X→X:(x,y)⟼x⨀y≔xy+x+y
neue Operationen eingeführt. Zeigen Sie, dass (X,+,*) zu (X,⨂,⨀) isomorph ist

Hinweis: Zwei Ringe (X,+,*) und  (X,⨂,⨀) sind isomorph,
wenn es eine bijektive Abbildung f:X→X gibt für die gilt
∀x,y∈X:f(x+y)=f(x)⨁f(y),f(x*y)=f(x)⨀f(y).
Es sei (X,+,*) ein Ring mit Einselement 1. In X werden durch
⊕:X×X→X:(x,y)⟼x⊕y≔x+y+1, ⨀: X×X→X:(x,y)⟼x⨀y≔xy+x+y
neue Operationen eingeführt. Zeigen Sie, dass (X,+,*) zu (X,⨂,⨀) isomorph ist
Hinweis: Zwei Ringe (X,+,*) und  (X,⨂,⨀) sind isomorph,
wenn es eine bijektive Abbildung f:X→X gibt für die gilt

∀x,y∈X:f(x+y)=f(x)⨁f(y),f(x*y)=f(x)⨀f(y).

Problem/Ansatz:

Einfach überhaupt keine Idee.

Abbildungen bijektiv, surjektiv, injektiv

November 18, 2019, 6:30 am

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Bei 1. soll bestimmt werden ob es injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Bitte mit Erklärung

Bei 2. sollen die Abbildungen angegeben werden :/

Permutation Produkt elementfremder Zyklen allgemeine Schreibweise

November 18, 2019, 10:46 am

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Aufgabe:

Zu zeigen ist:

Sind τ und σ ∈ S_n Permutationen und hat σ die Darstellung:

σ = (a_1,1, a_1,2 . . .)(a_2,1, a_2,2, . . .) . . . (a_m,1, a_m,2, . . .)

als Produkt von elementfremden Zyklen, so hat τστ⁻¹ die Darstellung:

τστ⁻¹ = (τ (a_1,1), τ (a_1,2) . . .) (τ (a_2,1), τ (a_2,2), . . .) . . . (τ (a_m,1), τ (a_m,2), . . .).

Problem/Ansatz:

Leider kenne ich mit Permutationen schlecht aus, deshalb bräuchte ich Ansätze oder Lösungswege wie ich das zeigen kann.

Bin für jede Lösung dankbar.

Äquivalenzklassen - Definition

November 22, 2019, 1:21 pm

≫ Next: Jede Stadt ist mit jeder anderen Stadt durch genau eine Straße verbunden - Beweis

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Guten Abend,

ich hätte eine Frage bezüglich einer Formel zu Äquivalenzklassen.

In meinen Unterlagen steht, wenn ~ eine Äquivalenzrelation auf der Menge M und a ∈ M, dann sei die Menge [a] = {x ∈ M : a ~ x}. Leider kann ich nicht ganz nachvollziehen, was das bedeutet.

Was ist "x" in diesem Zusammenhang? Wie lässt sich das Zeichen ":" in diesem Kontext definieren?

Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn mir jemand diesen Ausdruck eventuell "übersetzen" könnte.

Vielen Dank im Voraus.

Jede Stadt ist mit jeder anderen Stadt durch genau eine Straße verbunden - Beweis

November 17, 2019, 8:35 am

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Hallo und guten Abend,

ich habe diese Übungsaufgabe:
In einem Land ist jede Stadt mit jeder anderen durch genau eine Straße verbunden, wobei alle Straßen Einbahnstraßen sind. Zeigen Sie: In diesem Land existiert eine Stadt, die von jeder anderen Stadt direkt durch eine Straße oder über den Umweg genau einer Stadt über zwei Straßen erreichbar ist.

Das erinnert mich sehr an den Eulerweg und die Graphentheorie, jedoch weiß ich nicht ob das wirklich der Fall ist und wie ich das am besten zeigen soll :r

Für ein paar Tipps wäre ich sehr dankbar.
LG :)

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σ/n - Umgebgung /ungewöhnliche oder Signifikante Stichprobenergebnisse

November 23, 2019, 12:59 am

≫ Next: Normalverteilung Fruchtsaftherstellung

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Aufgabe: Die CDU erhält bei einer Wahl 46% der Stimmen Umfrage mit 2000 Personen, hier 47,2% CDU Wähler. Gesucht ist die Qualität der Umfrage.

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie man das Lösen soll. :(

Normalverteilung Fruchtsaftherstellung

November 17, 2019, 8:21 am

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Ein Fruchtsafthersteller bietet ein Getränk in Flaschen an.Beim Abfüllen der Flaschen wird ein Sollwert von 1,000L angestrebt.

Die Abfüllmengen können als normalverteilt mit der Standardabweichung 0,0035L angesehen werden.

1) Ermitteln Sie den 90%-Vertrauensbereich für den Erwartungswert der Abfüllmenge, wenn bei einer Stichprobe von 50 Flaschen eine mittlere Abfüllmenge von 1,0030L festgstellt wurde.

2)Beurteilen Sie nun die die genannte Zielvorgabe beim Abfüllürozess.

Vierecksfläche mit bestimmter Größe

November 23, 2019, 1:36 am

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Aufgabe: Im Rechteck mit den Ecken A(-10;0) , B(10;0) , X(10;8) , Y(-10;8) befindet sich auf der

Strecke XY der Punkt C(t;8) .  Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel α und β (also bei A und B) des

Dreiecks ABC schneiden sich in D und die Dreiecksseiten AC und BC in E bzw. F.

Für welche Lage von C hat das Viereck EDFC die Flächenmaßzahl 17 ?

Es genügt für t eine Genauigkeit von 3 Nachkommastellen.

Beweise eines Körpers K in einem K-Vektorraum

November 23, 2019, 2:48 am

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Aufgabe:

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass für alle λ 1 , λ 2 ∈ K, v ∈
V gilt:

(i) 0 · v = 0.
(ii) (−λ 1 ) · v = −(λ 1 · v).
(iii) Aus v 6 = 0 und λ 1 6 = λ 2 folgt λ 1 · v 6 = λ 2 · v. Insbesondere besitzt jeder
Vektorraum V 6 = {0} über einem unendlichen Körper unendlich viele Ele-
mente.

Problem/Ansatz:

Ich habe in der letzten Vorlesung irgendwann den Faden verloren, und weiß nicht wie ich die Aufgabe lösen könnte. Wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte..

Vielen Dank im Voraus.

Bildmengen aus der Komposition zweier Funktionen bilden

November 23, 2019, 3:17 am

≫ Next: Sammlung von möglichen Umwandlungsfehlern

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Aufgabe:

f: ℤ→ℕ mit f(x) = x²+1

g: ℕ → ℝ mit g(y) = Wurzel(y)

Bildmengen ermitteln:

i)  g ° f (2^k : k ∈  {0,1,2,3})

ii) g°f^-1((-2,10))

Problem/Ansatz

für i) hab ich mir gedacht g ring f = g(f(x)) also Wurzel(x²+1) und für x setzt ich ja dann quasi 2^k ein für k=0,1,2,3 da würd mir jeweils die Wurzel aus 2,5,17 und 65 rauskommen

bei ii) hab ich jedoch jetzt ein Problem weil da müsste ich ja lt. definition des Urbilds die x werte rausbekommen sodass die Lösungen von -2 bis 10 sind aber um als Lösung -2 rauszubekommen müsst eine negative Wurzel ziehen und das geht weder in N,Z noch R oder versteh ich irgendwas grundsätzlich falsch?

lg.

Sammlung von möglichen Umwandlungsfehlern

November 23, 2019, 3:41 am

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Stimmen die umgewandelten Formeln?

Ich möchte unten Links zu vermuteten Umwandlungsfehler sammeln, damit nicht zu viele Fehler generiert werden.

Problem/Ansatz:

Hier mal ein Anfang für eine Sammlung von vermuteten Umwandlungsfehlern:

1. https://www.mathelounge.de/673169/konvergenz-einer-reihe-mit-fakultat-im-nenner-zeigen?show=673207#c673207

2. https://www.mathelounge.de/74806/wie-bestimmt-man-eine-2x3-matrix hier müsste ik tiefgestellt sein. 

Vektoren, Erzeugendensystem, Lineare Abhängigkeit

November 23, 2019, 5:07 am

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Aufgabe:

Gegeben seien folgende Vektoren des R⁴: y₁ = e₁, y₂ = e₁ + e₂, y₃ = e₁ + e₂ + e₃, y₄ =e₁ + e₂ + e₃ + e₄,

 x₁ = 2e₁ + e₂ + e₃, x₂ = −e₂ − e₃.
(a) Die Familie (y₁, y₂, y₃, y₄) ist ein Erzeugendensystem des R⁴.
(b) Ergänzen Sie die linear unabhängige Familie (x₁, x₂) durch Vektoren der Familie (y₁, y₂, y₃, y₄)
zu einer Basis des R⁴.
(c) Wenden Sie den Steinitzschen Austauschsatz auf die Basis der Einheitsvektoren (e₁, e₂, e₃, e₄)
des R⁴ und die Familie (x₁, x₂) an.

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Binomialverteilung Modellierung

November 23, 2019, 5:11 am

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Aufgabe:

Ein extremes Ereignis kommt alle \( n \in \mathbb{N} \) Jahre vor. Wir modellieren die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in einem Jahr passiert mit 1/n und nehmen an, dass diese extremen Ereignisse unabhängig sind. Es sei \( X:\{0, \ldots, n\} \rightarrow \mathbb{R} \) die Zufallsvariable, welche die Anzahl dieser Ereignisse inerhalb von \( n \) Jahren modelliert. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten a) \( \mathbb{P}(X=0) \) b) \( \mathbb{P}(X=1) \) c) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(X=0) \)

Problem/Ansatz:

a) 

\[ P(X=k)=f(k ; n, p)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) \cdot p^{k} \cdot(1-p)^{n-k} \] \( \mathrm{P}(\mathrm{X}=0) \) \( =\left(\begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right) * \frac{1}{n} *\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-0} \) \( =1^{*} 1^{*}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n} \equiv\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n} \)

b)

\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=1) \) \( =\left(\begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right) * \frac{1}{n} *\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1} \) \( =n * \frac{1}{n} *\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1}=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1} \)

Frage:

Ich bin mir nicht sicher, ob ich richtig vorgehe oder ob man das Ergebnis noch weiter kürzen kann. Außerdem weiß ich nicht, was sich ändern, wenn n sehr groß wird? Exponentiell?

Wahrscheinlichkeitsrechnung -Tombola Maturaball

November 23, 2019, 6:30 am

≫ Next: Kann mir jemand die Sprungstelle erklären ( Unstetigkeit)?

≪ Previous: Binomialverteilung Modellierung

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Beim Maturaball Ihres Cousins wollen Sie an der Tombola teilnehmen. Von Ihrem Cousin haben Sie erfahren, dass 77
Prozent aller Lose Nieten sind. Sie kaufen sich im Laufe des Abends 5 Lose.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie schlussendlich genau drei Gewinnlose besitzen?
(Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Ich finde leider keinen Ansatz zu dieser Aufgabe, könnte mir Bitte jemand Helfen?

Kann mir jemand die Sprungstelle erklären ( Unstetigkeit)?

November 23, 2019, 6:46 am

≫ Next: alle Primzahlen n > 2 sind ungerade als logische Aussage; Teilaussagen sind gegeben

≪ Previous: Wahrscheinlichkeitsrechnung -Tombola Maturaball

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Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo Leute :)

Es geht um die Unstetigkeit.

Es gibt 3 Arten

1. Hebbare

2. Sprungstelle

3. Polstelle

1&3 habe ich verstanden und auch Beispiele dafür.

Jedoch die Sprungstelle habe ich nicht ganz verstanden weiss nur wie es aussehen würde. Könnte mir jemand es mit einem Beispiel Rechnung erklären?

alle Primzahlen n > 2 sind ungerade als logische Aussage; Teilaussagen sind gegeben

November 23, 2019, 6:59 am

≫ Next: Aufleitung eines e-funktion

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Aufgabe:

Hallo Leute,

die Aufgabe lautet wie folgt.

Gegeben sind die Aussagen P(n): n ist prim; U(n): n ist ungerade und G(n): n ist gerade; n ∈ N.

Beschreiben sie nun die folgenden Aussagen mit Hilfe einer Formel.

a) Es gibt einer gerade Primzahl.

b) Alle Primzahlen für  n > 2 sind ungerade.

Problem/Ansatz:

a) ∃n: P(n) ∧ G(n) wäre eine Lösung.

 ∃n: P(n), G(n) wäre meine zweite.

Ist der Verbindung durch das -und- notwendig?

b) ∃n, n > 2: P(n) ⇒ G(n). 

Ist diese Lösung so korrekt?

Aufleitung eines e-funktion

November 23, 2019, 7:13 am

≫ Next: Kann mir jemand das Asymptotisches Verhalten von Funktionen erklären?

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Aufgabe: e-funktion aufleiten

Problem/Ansatz: Hallo zusammen. Ich schreibe demnächst eine Matheklausur und ich bin mir ziemlich sicher, dass ich da eine e-funktion aufleiten müssen werde. Kann mir bitte jemand Tipps geben wie man es macht? Unterrichtsstoff reicht leider für das Verständnis nicht aus.

Danke im Voraus und liebe Grüße.