Aufgabe:
M:= C([0;1];ℂ) der stetigen Funktionen auf [0,1]
d:MxM-> ℝ, (f,g)-> max |f-g|
Zeige d ist eine Metrik.
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Metrik Aufgabe mit komplexen Werten
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wie kann man dieses Aufgabe lösen
Sei K ein Körper. Für x ∈ K\{0} und n ∈ N definieren wir x−n := (x−1)n und erklären damit xn für
n∈Z.ZeigenSie,dassdannfürx∈K undn,m∈Zgilt:(xn)m =xn·m
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Richtungsableitung im Komplexen mit Wirtinger-Ableitungen verknüpfen
Aufgabe:
Mit $$f_{z}, \; f_{\bar{z}}$$ seien die Wirtinger-Ableitungen gemeint.
Es sei f : G →ℂ eine Funktion auf einem Gebiet G⊆ℂ, und in z0∈ G sei f reell differenzierbar. Für α ∈ℝ ist die Richtungsableitung von f in Richtung eiα definiert durch
$$∂αf(z0) := \lim_{r\rightarrow 0} \frac{f(z0 + re^{iα})−f(z0)}{re^{iα}} $$
Zeigen Sie:
(a) Es gilt $$∂_{α}f(z_{0}) = fz(z_{0}) + e^{−2iα}f_{z}(z_{0})$$.
(b) Für die Jacobische Funktionaldeterminante von f in z0 gilt
$$det J_{f(z_0)} = |f_{z}(z_{0})|^{2} −|f_{\bar{z}}(z_{0})|^{2}$$
Ich habe leider absolut keine Ahnung, wo/wie ich hier anfangen soll.
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Lokale Extrema (Min/ Max)
Ich müsste in einer Aufgabenstellung alle lokalen Extrema von \( f \) und jeweils angeben, ob es sich um ein lokales Maximum oder Minimum handelt.
Die Funktion ist \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^{2} \exp \left(\frac{-x}{2}\right)\)
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Welchen Betrag können Sie pro Monat ausgeben 1. Entnahme in einem Monat
Sie haben 26.000 Euro geerbt und planen, davon in den nächsten 5 Jahren Ihre Ausbildung zu finanzieren. Ihre Bank bietet Ihnen einen
Zins von 3,6 Prozent p.a. (vierteljährliche Verzinsung). Welchen Betrag können
Sie pro Monat ausgeben (1. Entnahme in einem Monat, insgesamt 60 mal)?
Runden Sie das Endergebnis auf zwei Kommastellen.
Hallo Freunde, ich kann mir unter dieser AUfgabe nichts vorstellen, nicht einmal einen Ansatz habe ich. Kann mir bitte jemand netter weise diese Aufgabe erklären.:))
SCHÖNEN SONNTAG NOCH
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Ebene parallel zur x1 Achse
Aufgabe:
Hallo ich hab hier eine Aufgabe liegen und komme nicht weiter. Thema Vektorgeometrie (Ebenen)
Aufgabe: Die Ebene E ist parallel zur X1-Achse und enthält die Punkte A (1|2|1,5) und B (2|4|0).
Stelle eine Gleichung von E auf und erkläre deine Vorgehensweise
Problem/Ansatz:
Ich habe Zwei Punkte gegeben und die Info das es sich um eine Parallele Ebne zur X1 Achse handelt. Wie kann ich nun vorgehen, bitte mit möglichst ausführlicher Erklärung
LG
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glieder einer reihe aufaddieren
1.Wie viele Glieder der Reihe \( \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n(n+3)}} \) muss man aufaddieren, um den
Reihenwert sicher auf 6 Dezimalstellen angeben zu können.
2.Wie viele Glieder der Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n!}} \) muss man addieren, um den Reihenwert
sicher auf 5 Dezimalstellen angeben zu können? Konvergiert dieselbe Reihe
auch absolut? Und welcher Reihenwert ergibt sich dann?
habe keine ähnliche beispielaufgabe dazu bekommen und weiss nicht wie man hier überhaupt rangeht... wäre jemand so nett sich etwas zeit dafür zu nehmen und mir auf die sprünge zu helfen? danke!
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Es existiert eine eindeutig bestimme Diagonalmatrix - Beweisen oder widerlegen
Beweisen oder widerlegen Sie:
Es existiert eine eindeutig bestimmte Diagonalmatrix D∈M(3x3, ℝ) mit D • \( \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -3\\2\\1\end{pmatrix} \)
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Berechnen Sie die folgenden Größen an der
Was und wie muss ich die Fragen ausrechnen?
Text erkannt:
Gegeben sei die Funktion
$$ F\left(x_{1}, x_{2}\right)=7 x_{1}^{0.61} x_{2}^{0.27} $$
Berechnen Sie die folgenden Größen an der
Stelle \( \mathbf{a}=(3,1) \) und unter Beibehaltung des
Niveaus der Funktion \( F(\mathbf{a}) \). (Gehen Sie
außerdem davon aus, dass \( x_{1} \geq 0 \) und \( x_{2} \geq 0 \)
gilt..
a. Momentane Änderungsrate des \( x_{2} \) bei
Erhöhung des \( x_{1} \) um eine marginale Einheit.
b. Exakte Veränderung von \( x_{2}, \) wenn \( x_{1} \) um 0.25
Einheiten erhöht wird.
c. Approximative Veränderung von \( x_{2}, \) wenn \( x_{1} \)
um 0.25 Einheiten erhöht wird.
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zeige Eigenschaften von f: R^2 -> R
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
f: ℝ2 -> ℝ mit
f(x,y)= (x3y)/(x4+y2 )für (x,y) ≠ (0,0) und 0 für (x,y) = (0,0)
zeige:
a) f ist stetig
b) alle Richtungsableitungen von f existieren in (0,0)
c) f ist in (0,0) nicht differenzierbar
Ich habe folgende Tipps:
zur a) Youngsche Ungleichung
zur b) Betrachte xn = n-α und yn = n-β mit gewissen α,β>0
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Beweise für Skalarprodukte und Gradienten in einem endlichdimensionalen Vektorraum
Liebe Community!
Mich beschäftigen zwei Aufgaben:
Es sei \( V \) ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit den Elementen \( k, e . \) Sei \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) eines der Skalarprodukte von \( V \) und \( r:=|\cdot| \) die zu \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) gehörige Norm. Zeigen Sie durch geschicktes Ausnützen der Kettenregel:
1. Sei \( f(p):=\langle k, p\rangle^{2} \) für alle \( p \in V . \) Dann folgt für \( X, p \in V, \) dass \( [X]_{p}(f)=2\langle k, p\rangle\langle k, X\rangle \) , \( d_{p} f=2\langle k, p\rangle\langle k, \cdot\rangle \) und \( \operatorname{grad}_{p} f=2\langle k, p\rangle \cdot k \)
2. Sei \( f:=-\frac{1}{r} \) auf \( U=V \backslash 0 . \) Dann folgt für \( X \in V \) und \( p \in U, \) dass \( [X]_{p}(f)=\frac{(p, X)} {|p|^{3}}, \quad d_{p} f=\frac{(p, \cdot)}{|p|^{3}} \) und \( \operatorname{grad}_{p} f=p /|p|^{3} \)
Die bei uns gebräuchliche Definition des Gradienten habe ich mir wie folgend notiert: Sei \( U \subset V \) offen und \( f: U \rightarrow \mathbb{R} \) sei differenzierbar in \( p \in U . \) Dann heißt der Vektor grad \( _{p}(f) \in V \) mit \(\left\langle\operatorname{grad}_{p}(f), X\right\rangle=[X]_{p} f=d_{p} f(X) \text { für alle } X \in V \) Gradient von \( f \) im Punkt \( p . \)
Ich habe den Beweis für die jeweils erste Aussage fertig. Ich hätte aus dem Beweis für die erste Aussage und aus der Definition des Gradienten die Richtigkeit der jeweils zwei anderen Aussagen direkt gefolgert. Ist das zulässig oder brauche ich da weitere Beweisschritte?
Beste Grüße und vielen Dank im Voraus
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Bestimmen Sie alle Nullstellen z ∈ C der folgenden Polynome:
Aufgabe
Bestimmen Sie alle Nullstellen z ∈ C der folgenden Polynome:
a) z 5 + 32
b) z 5−(2−2i)·z 2
c) z4−z3−4(1+√3i)z+4+4√3i
Problem/Ansatz:
lösen
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Wie löst man die Gleichung nach u auf?
Aufgabe:
Wie löst man die Gleichung nach u auf?
10=-4u^3-4u^2-u^4+5
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Kommutativität für die Gruppe Sn
Aufgabe:
Die symmetrische Gruppe Sn ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer n-elementigen Menge besteht.
Zu zeigen:
n<=2→Sn ist kommutativ
Problem/Ansatz:
Mir ist klar, dass diese Aussage gelten muss. Ich habe es auch schon mit einem Beispiel überprüft und gesehen, dass für n<=2 die kommutativität erfüllt ist, weil beides gleich abgebildet wird. Aber wie kann ich dies formell aufschreiben? Ein Beispiel ist ja noch kein Beweis. Über einen Tipp wäre ich super dankbar. Habs auch schon mit Wiederspruchsbeweis versucht aber will alles nicht so richtig...
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Wirtschaftliche Interpretation eines dualen Simplex Algorithmus
Aufgabe:
Hi Leute,
Meine Aufgaben: Ich sollte zunächst einmal einen Simplex Algorithmus aufstellen und lösen (Bild 1).
Danach sollte ich das Problem von Primal nach Dual umwandeln (Bild 2).
Anschließend sollte ich diesen Simplex ebenfalls lösen (Bild 3).
Bis hier habe ich alles geschafft, auch weil es erlaubt war ein Programm zu nutzen um diese Algorithmen zu lösen.
Nun soll ich die Lösung vom Dualen Simplex Algrithmus wirtschaftlich interpretieren (Schattenpreise etc.), hier von habe ich überhaupt gar keine Lösung, wisst ihr da bescheid?
1.
Text erkannt:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Iteration-3 & & Ci & 150 & 210 & 0 & 0 & \\
\hline B & CB & XB & x1 & x2 & S1 & S2 & MinRatia \\
\hline x2 & 210 & 60 & 0 & 1 & 0.75 & 0.25 & \\
\hline x1 & 150 & 40 & 1 & 0 & -0.5 & 0.5 & \\
\hline z=18600 & & Zi. & \( \mathbf{1 5 0} \) & \( \mathbf{2 1 0} \) & 82.5 & 22.5 & \\
\hline & & Zi-Ci & 0 & 0 & 82.5 & 22.5 & \\
\hline
\end{tabular}
since all Zj-Cj\geq0
Hence, optimal solution is arrived with value of variables as:
\( x 1=40, x 2=60 \)
Max \( z=18600 \)
2.
Text erkannt:
Duality
\begin{tabular}{|lcc|}
\hline Primal & & \\
\hline \( 150 \mathrm{x} \) & \( + \) & \( 210 \mathrm{y} \) \\
\hline
\end{tabular} \( \operatorname{Max}|150 \mathrm{x}+210 \mathrm{y}| \quad \) Min
\begin{tabular}{l}
Dual \\
\hline \( 160 x+1 \)
\end{tabular} \( 240 y \)
\begin{tabular}{|lccc|c|}
\hline \( \mathrm{x} \) & \( + \) & \( 2 \mathrm{y} \) & \( \leq \) \\
\( 3 \mathrm{x} \) & \( + \) & \( 2 \mathrm{y} \) & \( \leq \) \\
\hline
\end{tabular} \begin{tabular}{|lccc|c|}
\hline \( \mathrm{x} \) & \( + \) & \( 3 \mathrm{y} \) & \( \geq \) & 150 \\
\( 2 \mathrm{x} \) & \( + \) & \( 2 \mathrm{y} \) & \( \geq \) & 210 \\
\hline
\end{tabular}
$$ x, y \geq 0 $$
3.
Text erkannt:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Iteration-1 & & Ci & 150 & 210 & 0 & 0 & \\
\hline B & CB & XB & x1 & x2 & S1 & S2 & MinRatio \\
\hline S1 & 0 & 160 & 1 & 2 & 1 & 0 & \\
\hline S2 & 0 & 240 & 3 & 2 & 0 & 1 & \\
\hline z=0 & & Zi & 0 & 0 & 0 & 0 & \\
\hline & & Zi-Ci & -150 & -210 & 0 & 0 & \\
\hline
\end{tabular}
since all \( Z j-C j \leq 0 \)
Hence, optimal solution is arrived with value of variables as:
\( x 1=0, x 2=0 \)
Min \( z=0 \)
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Metrik (Hamming-Metrik, Standardmetrik)
1.
Man zeige, dass sich die Hamming-Metrik auf n-Bits verallgemeinern lässt, d.h. für N = {0;1}n gibt
d : N x N → ℝ, (p, q) ↦ Anzahl von {i ∈ ℕ : pi≠ qi;1 ≤ i ≤ n}
eine Metrik auf N.
Man beschreibe, wie sich eine Cauchy-Folge in N bezüglich dieser Metrik verhalten muss.
2.
Wir betrachten die Menge R mit der Standardmetrik.
a) Ist die Abbildung f: ℝ → ℝ>0 surjektiv, streng monoton wachsend und stetig liefert die Abbildung
df : ℝ x ℝ → ℝ, (x, y) ↦ |f(x) − f(y)|
eine Metrik auf R.
b) Man zeige, dass die Folge der (xn)n∈ℕ>0 mit xn := f -1(\( \frac{1}{n} \)) bezüglich df eine Cauchy-Folge ist, aber nicht bezüglich der Standardmetrik.
Falls euch Ideen/Lösungen zu Teilaufgaben einfallen, würde ich mich über eine Antwort freuen:)
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1. Ermittelt den Winkel Alpha, für den sich ein maximales Tütenvolumen ergibt....
Aufgabe:
Die Eistüte
Eine optimale Eistüte ist eine Tüte, die möglichst viel Eis fasst (und dazu auch noch gut schmeckt) Unsere Eistüte ist leider nur aus Papier:
Öffrungswinkel \( \alpha \) aus und bastelt daraus mit einem Klebestreifen eine kegelförmige Tüte.
\( \sqrt[n]{n} \)
Aufgaben:
1. Ermittelt den Winkel \( \alpha \), für den sich ein maximales Tütenvolumen ergibt.
Beim Basteln der Tüte bekommt inr ein , Abfallstück', aus dem inr - klar! - eine weitere Tüte klebt Nun habt inr zwei Eistüten; schlauerweise füllt inr beide.
2. Bestimmt \( \alpha \) so, dass die Summe der beiden Tütenvolumen maximal wird
3. Berechnet, wie viel Prozent mehr Eis inr bei dieser Lösung erhaltet gegenüber der, bei der inr die Kreisscheibe mittig teilt (also \( \alpha=180^{\circ} \)
Text erkannt:
Die Eistüte Eine optimale Eistüte ist eine Tüte, die möglichst viel Eis fasst (und dazu auch noch gut schmeckt) Unsere Eistüte ist leider nur aus Papier:
Öffrungswinkel \( \alpha \) aus und bastelt daraus mit einem Klebestreifen eine kegelförmige Tüte.
\( \sqrt[n]{n} \)
Aufgaben:
1. Ermittelt den Winkel \( \alpha \), für den sich ein maximales Tütenvolumen ergibt.
Beim Basteln der Tüte bekommt inr ein , Abfallstück', aus dem inr - klar! - eine weitere Tüte klebt Nun habt inr zwei Eistüten; schlauerweise füllt inr beide.
2. Bestimmt \( \alpha \) so, dass die Summe der beiden Tütenvolumen maximal wird
3. Berechnet, wie viel Prozent mehr Eis inr bei dieser Lösung erhaltet gegenüber der, bei der inr die Kreisscheibe mittig teilt (also \( \alpha=180^{\circ} \)
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Brüche berechnen für Term
Aufgabe: Brüche für einen Term ausrechnen
Hallo,
Ich sitze schon eine halbe Stunde und versuche auf das richtige Ergebnis von 43/20 - 1/15 zu kommen das richtige Ergebnis lautet nämlich 2 1/12 ich krieg aber immer 2 5/60 raus.
Ich brauche bitte einen Rechenweg weil ich es verstehen will.
Danke
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Beweise für Skalarprodukte und Gradienten in einem endlichdimensionalen Vektorraum
Liebe Community!
Mich beschäftigen zwei Aufgaben:
Es sei \( V \) ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit den Elementen \( k, e . \) Sei \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) eines der Skalarprodukte von \( V \) und \( r:=|\cdot| \) die zu \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) gehörige Norm. Zeigen Sie durch geschicktes Ausnützen der Kettenregel:
1. Sei \( f(p):=\langle k, p\rangle^{2} \) für alle \( p \in V . \) Dann folgt für \( X, p \in V, \) dass \( [X]_{p}(f)=2\langle k, p\rangle\langle k, X\rangle \) , \( d_{p} f=2\langle k, p\rangle\langle k, \cdot\rangle \) und \( \operatorname{grad}_{p} f=2\langle k, p\rangle \cdot k \)
2. Sei \( f:=-\frac{1}{r} \) auf \( U=V \backslash 0 . \) Dann folgt für \( X \in V \) und \( p \in U, \) dass \( [X]_{p}(f)=\frac{(p, X)} {|p|^{3}}, \quad d_{p} f=\frac{(p, \cdot)}{|p|^{3}} \) und \( \operatorname{grad}_{p} f=p /|p|^{3} \)
Die bei uns gebräuchliche Definition des Gradienten habe ich mir wie folgend notiert: Sei \( U \subset V \) offen und \( f: U \rightarrow \mathbb{R} \) sei differenzierbar in \( p \in U . \) Dann heißt der Vektor grad \( _{p}(f) \in V \) mit \(\left\langle\operatorname{grad}_{p}(f), X\right\rangle=[X]_{p} f=d_{p} f(X) \text { für alle } X \in V \) Gradient von \( f \) im Punkt \( p . \)
Ich habe den Beweis für die jeweils erste Aussage fertig. Ich hätte aus dem Beweis für die erste Aussage und aus der Definition des Gradienten die Richtigkeit der jeweils zwei anderen Aussagen direkt gefolgert. Ist das zulässig oder brauche ich da weitere Beweisschritte?
Beste Grüße und vielen Dank im Voraus
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Wie groß ist die Querschnittsfläche?
Ein Damm ist 5,2 M hoch, hat eine 18,5 m breite Sohle und eine 9,3 m breite Krone. Wie groß ist die Querschnittsfläche?
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