Hallo zusammen,
ich versuche eine Rekursionungleichung mal ohne das Mastertheorem durch wiederholtes einsetzen zu lösen:
Gegeben:
$$t(1)\quad =\quad 1\\ t(n)\quad =\quad 16t(\left\lceil \frac { n }{ 2 } \right\rceil) +{ n }^{ 4 }$$
Mit dem Mastertheorem kommt ∈O(nlogn) raus.
Nun setze ich die Formel in sich ein:
$$\quad 16(16t(\left\lceil \frac { n }{ 4 } \right\rceil )+{ \left( \frac { n }{ 2 } \right) }^{ 2 })+{ n }^{ 4 }\quad =\quad { 16 }^{ 2 }\cdot t(\frac { n }{ { 2 }^{ 2 } } )+16\cdot { \left( \frac { { n }^{ 4 } }{ { 2 }^{ 4 } } \right) }\quad +{ n }^{ 4 }\quad \\ ={ 16 }^{ 2 }\cdot t(\frac { n }{ { 2 }^{ 2 } } )+{ n }^{ 4 }+{ n }^{ 4 }$$
Bei wiederholtem einsetzen entsteht:
$$={ 16 }^{ k }\cdot t(\frac { n }{ { 2 }^{ k } } )+{ kn }^{ 4 }$$
Wie komme ich hier weiter?
Im Skript wird bei einer ähnlichen Aufgabe nun einfach behauptet "für n=2k gelte".
Das mache ich nun auch:
$$={ 16 }^{ k }\cdot 1+{ kn }^{ 4 }\\ ={ 16 }^{ k }+\quad { n }^{ 4 }\cdot logn\quad \quad \quad \quad |\quad da\quad n={ 2 }^{ k }\quad \Rightarrow logn\quad =k\\ ={ 16 }^{ logn }+{ n }^{ 4 }\cdot logn\quad$$
Das liegt aber nicht in der O Klasse die beim Mastertheorem rauskommt, was mache ich falsch?
Danke und Gruß,
DunKing